Von Zwangskräften geleistete Arbeit – Verallgemeinerung

Können wir (allgemein) behaupten, dass die von Zwangskräften auf ein System geleistete Arbeit immer Null ist?

Das können wir nicht, das gilt nicht für eine große Klasse von Beschränkungen.

Gegenbeispiel 1. Nicht-holonome Beschränkungen.

Dies sind Einschränkungen, die von mehr als nur Positionen und Zeiten abhängen, wie z

$$f(x_i, \dot{x_i}, t) ~=~ 0$$ Hier ist also ein einfaches Gegenbeispiel, angenommen, die Einschränkung ist $$x - \dot{x}~=~0,$$ für ein Teilchen in einer Dimension ohne andere Kräfte vorhanden. Dann wird es vom Ursprung weg beschleunigt, was bedeutet, dass die Zwangskraft Arbeit verrichtet.

Gegenbeispiel 2. Zeitabhängige Einschränkungen.

Angenommen, die Einschränkung ist beispielsweise

$$x_1 - x_2 = t^2$$ für zwei Teilchen in einer Dimension, ohne dass andere Kräfte vorhanden sind. Dann werden die Partikel voneinander weg beschleunigt, sodass die Zwangskraft Arbeit verrichtet.

Holonome zeitunabhängige Beschränkungen funktionieren nicht.

Dies sind "normale" Einschränkungen, die nur von Positionen abhängen, wie z. B. masselose starre Stäbe, die Abstände erzwingen, reibungsfreie geneigte Ebenen usw. Wir können sehen, dass sie auf verschiedene Weise keine Arbeit leisten.

Eine Möglichkeit besteht darin, anzumerken, dass wir annehmen können, dass die Einschränkung von einer konservativen Kraft durchgesetzt wird, mit potenziell 0 für zulässige Positionen und unendlich für nicht zulässige Positionen. Wenn sich das System dann von einer zulässigen Konfiguration in eine andere bewegt, ist die von dieser Kraft verrichtete Arbeit gleich minus der Potentialänderung, die Null ist.

Laut den Feynman Lectures on Physics:

Bei Bewegung mit fester reibungsfreier Zwangsbedingung wird durch die Zwangsbedingung keine Arbeit geleistet, da die Zwangskräfte immer im rechten Winkel zur Bewegung stehen. Mit den „Zwangskräften“ meinen wir diejenigen Kräfte, die direkt durch die Zwangsbedingungen auf das Objekt einwirken – die Kontaktkraft mit der Schiene oder die Spannung in der Saite.

Ich denke also, dass alle reibungsfreien Zwangskräfte eliminiert werden. (Aus einem geeigneten Bezugsrahmen betrachtet) Sie können sich immer noch fragen, warum die Zwangskraft senkrecht zu dem Körper ist, auf den sie wirkt, und weil die Oberfläche „reibungslos“ ist. . Weil Reibung im Wesentlichen die tangentiale Komponente der auf den Körper wirkenden Zwangskraft ist, und wenn wir sagen, dass keine Reibung vorhanden ist, sagen wir, dass die tangentiale Komponente null ist.

Falls nun Reibung (in der realen Welt üblich) auftritt und Energie in Form von Wärme usw. abgeführt wird, ist die von der Zwangskraft geleistete Arbeit eindeutig ungleich Null. Dies geschieht normalerweise in realen Szenarien (z. B. Scharnierkräfte, die eine Form der Einschränkung darstellen). Aber selbst wenn die Reibung keine Wärme abführt (unwahrscheinlich), wird sich die von ihr geleistete Arbeit als Null herausstellen, wenn wir das gesamte System betrachten, auf das die Kraft wirkt. Dies ist nur eine Folge von Newtons drittem Gesetz. Aber normalerweise ist das nicht sehr klar. Wenn wir zum Beispiel einen Block betrachten, der auf einer Oberfläche gleitet, nehmen wir den Boden als einen Körper mit unendlicher Masse und vernachlässigen die auf ihm geleistete Arbeit.

Die geleistete Arbeit wird definiert durch

$$W = Fd$$

Wie Sie also sehen können, ist die von dieser Kraft verrichtete Arbeit 0, wenn eine Kraft keine Verschiebung verursacht verursacht keine Verschiebung. Da es jedoch den Weg bestimmt, bedeutet dies, dass es die Richtung der Verschiebung ändern kann, auch wenn es sie nicht verursachen kann. Die Verschiebung beinhaltet Richtung und Entfernung. Das heißt, damit eine Zwangskraft 0 Arbeit leisten kann, muss sie senkrecht zur Richtung der Verschiebung wirken.

In Bezug auf Vektoren ist das, was die Verschiebung und damit die Arbeit verursacht, die Nettokraft, die parallel zur Richtung der Verschiebung ist. Worauf es also hinausläuft ist folgendes: Wirkt die Zwangskraft immer senkrecht zur Richtung der Verschiebung? Die Antwort lautet: nicht unbedingt. Es hängt davon ab, in welche Richtung Sie die Arbeit sehen. Wenn die Einschränkung eine Komponente parallel zur Richtung der verrichteten Arbeit hat, dann verrichtet sie Arbeit ungleich 0, die sowohl positiv als auch negativ sein kann. Wenn es senkrecht zur Richtung der verrichteten Arbeit steht, dann ist es 0.

Zum Beispiel in Ihrem ersten Szenario, das ich aus dem Diagramm nicht wirklich verstehen kann, aber betrachten wir einen Ball, der an einer Schnur hängt. Wenn Sie den Ball in eine Richtung parallel zum Boden schieben, wird er durch die Zwangskraft auf einer kreisförmigen Bahn bewegt. Nun stellt sich die Frage, in welche Richtung werden Sie die Verschiebung betrachten? Wenn Sie es als Kreisbahn betrachten, ist die Spannung immer senkrecht zur Verschiebung, und daher ist die durch die Zwangskraft geleistete Arbeit 0. Wie Sie jedoch bemerken, ist die Kreisbahn eine konstante Richtungsänderung und daher keine Verschiebung in eine feste Richtung. Betrachten wir also eine andere Betrachtungsweise desselben Szenarios. Was wäre, wenn wir die Verschiebung als parallel zur Primärkraft betrachten würden, die senkrecht zur Saite und parallel zum Boden ist? Nachdem Sie die Kugel dann geschoben haben und die Kugel entlang der Kreisbahn verschoben wird, verläuft ihre Bahn nicht mehr parallel zur Richtung der Primärkraft, die Spannung der Saite bewirkt, dass sie sich leicht nach oben bewegt, und sie hat auch eine leichte Komponente parallel, aber entgegengesetzt zur Richtung der Primärkraft. Die Spannung wird dann etwas Arbeit leisten, und der Wert ändert sich, je nachdem, in welche Richtung Sie die Verschiebung betrachten und wie weit Sie den Ball drücken. Wenn Sie die Verschiebung als "oben" betrachten, wird die Spannung eine positive Arbeit leisten, und wenn Sie sie als parallel zur Primärkraft betrachten, wird sie negativ sein. Außerdem berücksichtigen wir noch nicht einmal die Elastizität der Saite, die auch in die Arbeit der Zwangskräfte einfließen kann. Die Antwort lautet also, dass die von einer Zwangskraft geleistete Arbeit normalerweise 0 ist, aber nicht unbedingt, abhängig von der Richtung der Verschiebung, die Sie wählen. Aber die Berechnung der geleisteten Arbeit unter Berücksichtigung der Richtung der Verschiebung senkrecht zur Zwangskraft ist normalerweise der aussagekräftigste und nützlichste Wert, und daher wird dies normalerweise getan.

Nach dem Prinzip von D'Alembert wirken sich die Zwangskräfte nicht auf die Bewegung des Systems aus. Um dies zu sehen, müssen Sie die Bewegungsgleichung mit verallgemeinerten Koordinaten erstellen.

dein beispiel

Der Positionsvektor zur Masse

$$\vec R_m= \left[ \begin {array}{c} x_{{A}} \left( t \right) +L\sin \left( \varphi \right) \\L\cos \left( \varphi \right) \end {array} \right]$$

die Geschwindigkeit ist

$$\vec v=\vec{\dot{R}}_m=\underbrace{\frac{\partial \vec R}{\partial \varphi}}_{J}\,\dot{\varphi}+\frac{\partial }{\partial t}\vec{R}$$

$$J= L\,\left[ \begin {array}{c} \cos \left( \varphi \right) \\ -\sin \left( \varphi \right) \end {array} \right]$$

und die Spannkraft ist:

$$\vec T=T\,\vec{\hat e}_L=T\, \begin{bmatrix} \sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \\ \end{bmatrix}$$

also das Prinzip von D'Alembert.

$$J^T\,\vec{T}=0~\surd$$

die Newton EOMs

$$m\,J^T\,J\,\ddot{\varphi}=J^T\left(\vec F_u-m\,\frac{\partial ^2}{\partial t^2}\vec R\right)+\underbrace{J^T\,\vec T}_{=0}$$ Wo

$$\vec F_u= \begin{bmatrix} 0 \\ -m\,g \\ \end{bmatrix}$$

$${L}^{2}\ddot\varphi +g\,L\sin \left( \varphi \right) + \left( { \frac {d^{2}}{d{t}^{2}}}x_{{A}} \left(t \right) \right) L\cos \left( \varphi \right) =0$$

Das Freikörperdiagramm zeigt Ihnen, dass die Zwangskraft$F_{cx}=T\,\sin(\varphi)$eine innere Kraft ist, kann nur eine äußere Kraft (aufgebrachte Kraft) Arbeit verrichten

$$W=F_{cx}\,x_A(t)-F_{cx}\,x_A(t)=0~\surd$$

wir behaupten können, dass die von Zwangskräften auf ein System geleistete Arbeit immer Null ist?