Eine Frage zur virtuellen Arbeit im Zusammenhang mit Newtons drittem Gesetz

Question

Eine Frage zur virtuellen Arbeit im Zusammenhang mit Newtons drittem Gesetz

Webfarer-Flucht

Bei der Beschreibung des d'Alembertschen Prinzips heißt es in der mir zur Verfügung gestellten Vorlesungsnotiz, dass die Gesamtkraft $\mathbb F_l$ Einwirken auf ein Teilchen kann angenommen werden als

F_{l} = F_{l} + \sum_{M} F_{M l} + C_{l},

$\mathbb F_l=F_l+\sum_mf_{ml}+C_l,$

Wo $F_l$ ist die Summe der aufgebrachten Kräfte auf $l^{th}$ Partikel, $f_{ml}$ die innere Kraft zu sein $l^{th}$ Partikel aufgrund einer $m^{th}$ Teilchen und $C_l$ bezeichnet die Zwangskräfte. In Anbetracht des Gesetzes von Aktion und Reaktion heißt es dies jedoch weiter $f_{ml}+f_{lm}=0$ , was ich ohne Probleme verstehe. Aber in Anbetracht einer virtuellen Verschiebung $\delta \bf{r}_l$ An $l^{th}$ Partikel, in der nächsten Zeile kommt es zu dem Schluss, dass die virtuelle Arbeit $\delta W$ Fertig sollte sein,

δ W = \sum_{l = 1}^{N} (F_{l} + C_{l}) \cdot δ R_{l},

$\delta W~=~\sum_{l=1}^N(F_l+C_l)\centerdot\delta\textbf{r}_l,$

ignorieren $f_{ml}$ Bedingungen. Aber wenn wir diese Begriffe berücksichtigen, sollte es nicht so sein

δ W = \sum_{l = 1}^{N} (F_{l} + C_{l}) \cdot δ R_{l} + \sum_{l} \sum_{M} F_{M l} \cdot δ R_{l} .

$\delta W~=~\sum_{l=1}^N(F_l+C_l)\centerdot\delta\textbf{r}_l+\sum_l\sum_mf_{ml}\centerdot\delta\textbf{r}_l.$

Mit anderen Worten, ich sehe nicht, wie das kommt
$\sum_{l} \sum_{M} F_{M l} \cdot δ R_{l} \overset{?}{=} 0.$ $\sum_l\sum_mf_{ml}\centerdot\delta\textbf{r}_l~\stackrel?=~0.$

Betrachten Sie zur Veranschaulichung meines Problems ein System aus zwei Teilchen, für das man die obige Doppelsummierung erweitern und schreiben kann

F_{11} \cdot δ R_{1} + F_{21} \cdot δ R_{1} + F_{12} \cdot δ R_{2} + F_{22} \cdot δ R_{2} .

$f_{11}\centerdot\delta\textbf{r}_1+f_{21}\centerdot\delta\textbf{r}_1+f_{12}\centerdot\delta\textbf{r}_2+f_{22}\centerdot\delta\textbf{r}_2.$

Wie kann sich das im Allgemeinen auf Null summieren? Auch wenn ich vermute $f_{11}=0$ Und $f_{22}=0$ , bleibt mir übrig

F_{21} \cdot δ R_{1} + F_{12} \cdot δ R_{2} .

$f_{21}\centerdot\delta\textbf{r}_1+f_{12}\centerdot\delta\textbf{r}_2.$

Muss ich davon ausgehen $\delta\textbf{r}_1=\delta\textbf{r}_2$ dh dass die virtuellen Verschiebungen der Teilchen lediglich einer Verschiebung des Systems entsprechen? Oder habe ich etwas verpasst?

Antworten (1)

Eine Frage zur virtuellen Arbeit im Zusammenhang mit Newtons drittem Gesetz

QMechaniker · Answer 1

I) Erinnern wir uns zunächst an Newtons drittes Gesetz .

Definition. Das dritte Gesetz des schwachen Newton besagt, dass die gegenseitigen Kräfte von Aktion und Reaktion zwischen zwei Teilchen an einer Position gleich und entgegengesetzt sind $\vec{r}_i$ Und $\vec{r}_j$ ,
$\begin{matrix} (1) & {\vec{F}}_{ich J} + {\vec{F}}_{J ich} = \vec{0} . \end{matrix}$ $\vec{F}_{ij}+\vec{F}_{ji}~=~\vec{0}.\tag{1}$
Definition. Das starke dritte Newtonsche Gesetz sagt neben Gl. $(1)$ dass die Kräfte auch kollinear sind,
$\begin{matrix} (2) & {\vec{F}}_{ich J} ∥ {\vec{R}}_{ich J}, \end{matrix}$ $\vec{F}_{ij} ~\parallel ~\vec{r}_{ij},\tag{2}$ dh parallel zur Positionsdifferenz $\begin{matrix} (3) & {\vec{R}}_{ich J} := {\vec{R}}_{J} - {\vec{R}}_{ich} . \end{matrix}$ $\vec{r}_{ij}~:=~\vec{r}_j-\vec{r}_i.\tag{3}$

II) Das dritte starke Newtonsche Gesetz allein reicht nicht aus, um die doppelte Summe zu gewährleisten

$\begin{matrix} (4) & \sum_{ich \neq J} {\vec{F}}_{ich J} \cdot δ {\vec{R}}_{J} \overset{?}{=} 0 \end{matrix}$ $\sum_{i\neq j}\vec{F}_{ij}\cdot\delta\vec{r}_{j} ~\stackrel{?}{=}~0\tag{4}$

verschwindet. Wir brauchen eine zusätzliche Annahme, zB Steifigkeit. Wenn alle Entfernungen $|\vec{r}_{ij}|$ eingeschränkt/fixiert sind (stellen Sie sich zB einen starren Körper vor, der aus den Partikeln besteht), dann alle virtuellen Verschiebungen $\delta\vec{r}_i$ befriedigen muss

\begin{matrix} (5) & 0 = δ | {\vec{R}}_{ich J} |^{2} = 2 {\vec{R}}_{ich J} \cdot δ {\vec{R}}_{ich J}, \end{matrix}

$0~=~\delta|\vec{r}_{ij}|^2~=~2\vec{r}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_{ij}, \tag{5}$

Wo

\begin{matrix} (6) & δ {\vec{R}}_{ich J} \overset{(3)}{=} δ ({\vec{R}}_{J} - {\vec{R}}_{ich}) = δ {\vec{R}}_{J} - δ {\vec{R}}_{ich} . \end{matrix}

$\delta\vec{r}_{ij}~\stackrel{(3)}{=}~\delta(\vec{r}_j-\vec{r}_i)~=~\delta\vec{r}_j-\delta\vec{r}_i. \tag{6}$

Kollinearität $(2)$ und Steifigkeit $(5)$ dann impliziere das

\begin{matrix} (7) & 0 \overset{(2) + (5)}{=} {\vec{F}}_{ich J} \cdot δ {\vec{R}}_{ich J} . \end{matrix}

$0~\stackrel{(2)+(5)}{=}~\vec{F}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_{ij}.\tag{7}$

Dann die doppelte Summe $(4)$ verschwindet

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} 2 \sum_{ich \neq J} {\vec{F}}_{ich J} \cdot δ {\vec{R}}_{J} \overset{(1)}{=} & \sum_{ich \neq J} ({\vec{F}}_{ich J} - {\vec{F}}_{J ich}) \cdot δ {\vec{R}}_{J} \\ = & \sum_{ich \neq J} {\vec{F}}_{ich J} \cdot δ {\vec{R}}_{J} - \sum_{ich \neq J} {\vec{F}}_{J ich} \cdot δ {\vec{R}}_{J} \\ \overset{ich \leftrightarrow J}{=} & \sum_{ich \neq J} {\vec{F}}_{ich J} \cdot δ {\vec{R}}_{J} - \sum_{ich \neq J} {\vec{F}}_{ich J} \cdot δ {\vec{R}}_{ich} \\ = & \sum_{ich \neq J} {\vec{F}}_{ich J} \cdot (δ {\vec{R}}_{J} - δ {\vec{R}}_{ich}) \\ \overset{(6)}{=} & \sum_{ich \neq J} {\vec{F}}_{ich J} \cdot δ {\vec{R}}_{ich J} \\ \overset{(7)}{=} & 0, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} 2\sum_{i\neq j}\vec{F}_{ij}\cdot\delta\vec{r}_{j} ~\stackrel{(1)}{=}~& \sum_{i\neq j}(\vec{F}_{ij}-\vec{F}_{ji})\cdot\delta\vec{r}_{j}\cr ~=~&\sum_{i\neq j}\vec{F}_{ij}\cdot\delta\vec{r}_{j} -\sum_{i\neq j}\vec{F}_{ji}\cdot\delta\vec{r}_{j}\cr ~\stackrel{i\leftrightarrow j}{=}~& \sum_{i\neq j}\vec{F}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_{j} -\sum_{i\neq j}\vec{F}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_{i}\cr ~=~&\sum_{i\neq j}\vec{F}_{ij}\cdot (\delta\vec{r}_{j}-\delta\vec{r}_{i})\cr ~\stackrel{(6)}{=}~& \sum_{i\neq j}\vec{F}_{ij}\cdot \delta\vec{r}_{ij}\cr ~\stackrel{(7)}{=}~&0,\end{align} \tag{8}$

wie wir beweisen wollten. In der dritten Gleichheit von Gl. $(8)$ haben wir die beiden Summenvariablen umbenannt $i\leftrightarrow j$ im zweiten Semester.

Danke schön! Dies ist eine der klarsten Antworten, die ich je auf eine meiner physikalischen Fragen erhalten habe.
@Qmechanic, ich habe eine dumme Frage. Diese inneren Kräfte sollen, wenn sie die starke Form des 3. Hauptsatzes erfüllen, aus einem inneren Potential ableitbar sein, das nur vom Abstand zwischen Teilchen abhängt. Bei einem starren Körper ist der Abstand eine Konstante und damit auch das Potential. Müsste das nicht bedeuten, dass die inneren Kräfte verschwinden? Was vermisse ich?
Eine innere 2-Körper-Kraft, die dem starken 3. Gesetz von Newton gehorcht, kann immer noch von der Winkelorientierung abhängen und daher möglicherweise kein Potenzial haben.
@GRrocks. Ich belebe das wieder, weil ich Taylors Buch mitlese und einen ähnlichen Gedanken hatte, als er sagte, dass interne Wechselwirkungsenergien (per Definition) in starren Körpern konstant sind, und daher könnten wir vermuten, dass das Nehmen des Negativs des Gradienten dies tun würde führen zu einer Kraft, die verschwindet. Aber wir müssen uns über den verwendeten Gradienten im Klaren sein. Die Kraft auf ein Teilchen ist der Gradient bezüglich seiner Koordinaten seiner potentiellen Funktion, diese ist nicht konstant (d.h. $U(|\mathbf{r_1}-\mathbf{r_2}|$ ist keine Konstante in Bezug auf $\mathbf{r_1}$ sondern eher zu $|\mathbf{r_1}-\mathbf{r_2}|$ ).
@1729_SR Ja, genau das ist es. Das Potential ist eine Konstante in der Trennung, nicht einzelne Positionen.

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