Sind Zwangskräfte unendlich?

Viele Autoren behaupten, dass mechanische Beschränkungen Idealisierungen sind, die man erhält, indem man zulässt, dass Zwangskräfte unendlich sind. Aber ich bin entweder anderer Meinung oder weiß nicht, was sie bedeuten. Der einzige Fall, in dem ich es für wahr halten würde, ist, dass diese Kräfte impulsiv waren, dh die Geschwindigkeit würde sich durch Dirac-Delta-Impulse abrupt ändern.

Andererseits präsentieren alle Lehrbücher eine Theorie, in der die Zwangskräfte immer begrenzt und glatt sind (entweder als Lagrange-Multiplikatoren oder als Grenze eines sehr starken Potentials). Das lässt mich denken, dass sie niemals unendlich sein können und es keinen Grund dafür gibt, dass sie unendlich sind. Die einzige Möglichkeit, die ich sehe, ist, dass nur die Steifheit des Kraftpotentials ins Unendliche geht (unter der Annahme, dass die Beschränkungsverletzungen/Oszillationen klein sind).

Welche Ansicht ist richtig? Und wäre da auch eine Dämpfung dabei?

Antworten (5)

OP scheint sich darüber bereits lange Gedanken gemacht zu haben und bringt gute Argumente. In dieser Antwort werden wir das Argument überprüfen, warum Zwangskräfte unendlich sein können.

Wir gehen davon aus, dass OP von holonom spricht 1 Einschränkungen . Konkret sei die Einschränkung, dass einige verallgemeinerte Koordinaten verschwinden

Q   ≈   0.
Wir können die Einschränkung implementieren

  1. idealerweise über einen Lagrange-Multiplikatorterm 2

    (1) L 1   =   L 0 + λ Q ,
    wobei die Zwangskraft mit dem Lagrange-Multiplikator identifiziert werden kann λ ;

  2. oder pragmatisch über ein steifes Federpotential

    (2) L 2   =   L 0 − k 2 Q 2 ,
    wo die Federkonstante k es ist sehr groß.

Wenn E bezeichnet eine dem System zur Verfügung stehende charakteristische Energie, die vernünftigerweise zu erwarten ist

k 2 Q 2   ≲   E ,
oder
| Q |   ≲   Ö ( k − 1 / 2 ) .
Daher die Federkraft
| F |   =   | − k Q |   ≲   Ö ( k 1 / 2 )   →   ∞ F Ö R k   →   ∞ .
Mit anderen Worten, die Federkraft F könnte sehr groß und von oben unbegrenzt sein k → ∞ . Natürlich kann es sein, dass es nicht immer groß ist. ZB könnte es ein oszillierendes Muster geben.

Insbesondere wenn man die Federkraft identifiziert F in Modell 2 mit der Zwangskraft λ in Modell 1 kann man argumentieren, dass der (absolute Wert) des letzteren sehr groß sein könnte, vgl. Titelfrage von OP.

  1. Wir können Modell 1 & 2 über die Lagrange-Funktion vereinheitlichen

    (3) L 3   =   L 0 + λ 2 2 k + λ Q .
    Der EOM für λ Ist
    λ   ≈   − k Q .

    • Auf der einen Seite

      lim k → ∞ L 3   =   L 1 .

    • Andererseits für endlich k > 0 , wenn wir ausgliedern/beseitigen λ aus L 3 über seine EOM, bekommen wir genau L 2 .

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1 Halbholonome Beschränkungen sind ziemlich subtil, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

2 Der Lagrange L 0 könnte im Prinzip viele Freiheitsgrade enthalten, dh von vielen verallgemeinerten Koordinaten abhängen. Wir gehen davon aus, dass das System mindestens 1 Koordinate mehr als hat Q , so dass das System nicht trivial ist.

Wenn Sie haben L 0 = T − v , dann würde ich eine charakteristische Energie als schreiben E ∼ H = T + v . Für mich sieht es so aus, als würdest du es brauchen k Q 2 / 2 >> E , andernfalls würde die Energiemenge im System den harmonischen Oszillator anregen und die Beschränkung würde nicht erzwungen. Wie kommt man darauf k Q 2 / 2 ≤ E ?
Es kann Schwingungen geben, es geht darum, deren Amplitude zu begrenzen.
Hallo @Joe, ich habe deine Bearbeitungen aufgezeichnet, damit wir sie haben, aber ich bin immer noch nicht davon überzeugt, dass deine verbesserte Argumentation notwendig ist.
Nun, ich denke, Sie verpassen den Schritt, die Energie in den eingeschränkten und den eingeschränkten Teil aufzuteilen, aber es ist Ihre Antwort so fair genug. Es ist so oder so ein nettes Argument, ich habe es noch nie gesehen.
Folgendes versuche ich zu sagen; Wichtig ist, dass es zwei charakteristische Energieskalen gibt. E 0 charakterisiert die Bewegung innerhalb der Begrenzungsfläche Q = 0 , Und E charakterisiert die Bewegung im gesamten Phasenraum. Wir brauchen E 0 << E für k Q 2 / 2 als Hemmnis wirken. Ich musste herausfinden, was Sie meinten, als ich Ihre Antwort las, weil sie nicht zwischen den beiden Skalen unterscheidet, also ' E bezeichnet eine charakteristische Energie“ war mir nicht klar.
@Qmechanic Danke für die Antwort. Ist das nicht die Lösung für k Q 2 / 2 immer ein harmonischer Oszillator? Selbst wenn k ins Unendliche geht, würden die Schwingungen nicht für eine endliche Energie begrenzt bleiben E ? Ich schätze, die Amplitude der Schwingungen, deren Ordnung Sie zu schätzen versuchen, hängt nur von den Anfangsbedingungen ab und davon, wie weit sie vom Beschränkungsverteiler und letztendlich von der Gesamtenergie entfernt sind E im Einbettungsphasenraum. Vielleicht übersehe ich etwas, aber ich denke nicht, dass es vernünftig ist, davon auszugehen Q ∼ k 1 / 2 .
Mein Hauptproblem dabei ist, dass, obwohl es scheint, dass der Gradient der Potentialfunktion gegen unendlich zu gehen scheint (wie bei einer "Wand"), die Beschleunigung dies nicht tut (als periodische trigonometrische Funktion, selbst wenn die Frequenz gegen unendlich geht). . Auch, wenn Sie eine sehr große multiplizieren k mit Q was Null sein kann, erhalten Sie eine Art sehr steiles "gut", wenn die Einschränkung erfüllt ist. Das Potenzial ist also nicht überall unendlich. Irgendwie wegen M = ¨ − k Q Ich würde argumentieren, dass die Kraft endlich bleibt.
Nun, es ist eine Frage der Grenzen. Ich habe die Antwort aktualisiert.
Tut mir leid, aber ich sehe es immer noch nicht. Ich habe mich in Bezug auf die Beschleunigungen und Geschwindigkeiten geirrt, sie gehen bis ins Unendliche k , aber zumindest bleiben die Schwingungen begrenzt. Aber ich sehe es eher als Wechsel von positiven und negativen Delta-Dirac-Spitzen, so dass die durchschnittliche Gleichgewichtslinie immer noch Sinn macht. Sonst sehe ich nicht wie L 3 neigt dazu L 1 ohne k Q eine Art Konvergenz zu haben λ . Und λ ist ein endlicher Wert, der sich aus der algebraischen Bedingung ergibt, und wahrscheinlich der Durchschnitt der Schwingungskraft.
1. Was ist EOM? (Es kann keine Bewegungsgleichung sein, oder?) 2. Und gibt es einen speziellen Namen für die 3. Lagrange-Funktion? Ich würde es gerne online recherchieren. Danke!
1. EOM=Bewegungsgleichung.

Ich denke, es gibt keine einzige Antwort auf diese Frage; es kommt auf die Umstände an. Wenn Sie einen dreidimensionalen Raumbereich haben, in dem beispielsweise eine Kugel sitzt, dann haben Sie möglicherweise ein Teilchen, dessen Bewegung darauf beschränkt ist, auf der Oberfläche der Kugel zu liegen. Beim Aufstellen der Lagrange-Mechanik für diesen Fall müssen Sie sich nicht auf den Begriff der Kraft berufen; Sie können damit als Einschränkung umgehen. Aber wenn Sie sich dann fragen, welche Art von Kraft dieselbe Bewegung zur Folge hätte, dann handelt es sich um eine Kraft vom Typ „harte Wand“, die ins Unendliche ansteigt, sobald sich die Teilchenposition von der Kugeloberfläche entfernt.

Man könnte auch feststellen, dass wir Mechanik üblicherweise in einem dreidimensionalen Raum betreiben, und man könnte sagen, dass die Partikel „eingeschränkt“ waren, im 3D-Raum zu bleiben und nicht in eine 4. Dimension zu wandern. In diesem Fall handelt es sich um ein physikalisches Problem, bei dem es einfach keine 4. räumliche Dimension gibt. Wir würden das also normalerweise nicht als Einschränkung bezeichnen, aber mathematisch gesehen hat es den gleichen Effekt wie eine Einschränkung.

Insgesamt denke ich, dass die Antwort lautet, dass einige Fälle, in denen wir eine Einschränkung anwenden, eine bequeme Möglichkeit sind, mit dem umzugehen, was wirklich das Ergebnis einer Kraft ist, und andere Fälle nicht.

Mein Problem damit, wie diese Kräfte ins Unendliche ansteigen, sobald Sie sich von der Beschränkungsverzweigung entfernen. Weil die durch die Lagrange-Multiplikatoren gegebene Zwangskraft nicht unendlich geht: Sie ist endlich und ausreichend, um die Bewegung auf der Untermannigfaltigkeit aufrechtzuerhalten. Ich habe kein Problem mit Einschränkungen als Idealisierungen, ich mag sie genauso wie mathematische Konstrukte, obwohl dieser Artikel meine Hoffnungen, dass sie etwas zu Fundamentales sind, irgendwie ruiniert hat: aapt.scitation.org/doi/abs/10.1119/1.13647
@zetzar was meinst du mit "dass sie etwas zu grundlegendes sind"?
@Cheng Fundamental wie in fundamentalen Kräften. Normalerweise sind Einschränkungen das Ergebnis sehr starker Kräfte, wie z. B. zwischenmolekularer Kräfte. Es gab eine Zeit, in der ich Tagträume hatte, dass Zwänge tatsächlich grundlegenderer Natur sind, dass sie vor Kräften existieren und nicht das Ergebnis davon sind. Als würde man sich im 2D-Raum auf einem Kreis bewegen. Grundsätzlich ist die Lagrange-Mechanik auf Mannigfaltigkeiten keine Idealisierung, aber so funktioniert die Natur auf einigen Ebenen wirklich. Aber es ist wahrscheinlich falsch und ich habe schon lange nicht mehr darüber nachgedacht.

In der Praxis haben Sie natürlich Recht, aber die Berücksichtigung unendlicher Kräfte ist der einfachste Weg, um die Bedingungen exakt zu erfüllen.

Wie in der Antwort von Qmechanics argumentiert , ist die Energie in der Praxis begrenzt. Je steifer Sie die Federkonstante machen, desto weniger maximale Abweichung erhalten Sie von den genauen Einschränkungen. Die Idee ist, dass Sie dann die Dynamik für jede Endlichkeit berechnen können k , erhalten Sie die Grenze k → ∞ , und dort werden die Abweichungen gegen Null gehen, aber die Maximalkräfte bleiben immer noch endlich. Mit anderen Worten, Sie könnten die ersetzen k 2 Q 2 möglich mit einer gekappten Version, max { E , k 2 Q 2 } oder etwas glattes wie E ⋅ Tanh ⁡ ( k 2 E Q 2 ) . Das reicht aber eigentlich nicht aus, um zu garantieren, dass die Kräfte im Rahmen bleiben.

Ein Beispiel, bei dem Sie unendliche Kräfte erhalten, ist ein Partikel, das an eine Spur gebunden ist

Q ∈ { ( X , j ) : j = Sünde ⁡ ( exp ⁡ ( X ) ) }
ohne andere Kräfte. Wenn sich das Teilchen nach rechts bewegt, wird es jeden passieren j -maximal mit dem gleichen X -Geschwindigkeit aufgrund der Erhaltung der kinetischen Energie. Aber da hat es eine j -Beschleunigung ∝ − exp ⁡ ( X ) , die grenzenlos wächst.

Animation einer eingeschränkten Bewegung mit divergierender Kraft

(Reale Anwendung: Ein Hochgeschwindigkeitszug, der ohne vorheriges Bremsen in eine enge Kurve rollt, wird nicht durch die Tatsache gerettet, dass die Schienen nahezu perfekte Einschränkungen sind.)

Um eine Grenze für die maximale Kraft zu erhalten, benötigen Sie zusätzlich zu einer Grenze für die Energie eine Grenze für die Krümmung des Beschränkungsverteilers.

Das ist ein schöner Punkt, dass die Krümmung der Beschränkung eine Rolle spielt. Und das ist tatsächlich im Lagrange-Formalismus enthalten: Die Lagrange-Multiplikatoren werden immer den Trägheitskräften entgegenwirken. Aber ich würde sagen, das ist ein Grenzfall. Ich sprach von wohlerzogenen Beschränkungen wie einem Kreis.
Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihrem Energieargument folge, aber ich denke, wir stimmen dem für eine maximale und endliche Gesamtenergie zu E die Kräfte und Verschiebungen bleiben auch endlich. Die Kräfte mögen wie Spitzen aussehen, aber ich bin mir nicht sicher, ob sie sich als Delta-Dirac-Funktionen qualifizieren, und das wäre einer unendlichen Kraft am nächsten, die ich mir vorstellen kann.
Sie nähern sich den Dirac-Stacheln, ja. Es ist wie eine perfekt steife, aber elastische Murmel, die auf einer harten Steinoberfläche aufprallt. Ein etwas weniger konstruiertes Beispiel, das dies mit einer holonomen Beschränkung tut, ist ein Kanal mit rundem Boden und eine Schwerkraft, die immer spitzer V-förmig wird. Aber Sie hätten sogar unendliche Kräfte aushalten können , mit einem Trichter, der immer enger und enger wird. Sicherlich kann man all diese „Randfälle“ nennen, aber … naja, buchstäblich. Und Kanten und harte Oberflächen sind keineswegs ein dummes theoretisches Gedankenexperiment, sondern tatsächlich die beste Art, viele technische Probleme zu modellieren.
Woher hast du diese Simulation? Haben Sie Anleitungen für solche Simulationen? Danke!
@Cheng Ich scheine den Quellcode für diese bestimmte Simulation nicht aufbewahrt zu haben. Es ist ziemlich einfach, weil die Geschwindigkeit konstant ist, Sie müssen also nur die Kurve nach Weglänge parametrisieren und sich dann gleichmäßig entlang dieses Wegs bewegen. Ich glaube nicht, dass die Parametrisierung analytisch erfolgen kann, aber numerisch läuft es nur darauf hinaus, mitzumachen j ( X ) iterativ mit a Δ X so dass ( Δ X ) 2 + ( j ( X ) − j ( X + Δ X ) ) 2 = H , die Taylor-angenähert werden kann als Δ X = H 1 + ( j ' ( X ) ) 2 . Das wären etwa 5 Zeilen Haskell.
... Diese diskretisierte Form eignet sich jedoch nicht für die Berechnung der Beschleunigung, ich bin mir nicht sicher, ob ich es so gemacht habe.

Wenn Sie Ihr Koordinatensystem mit mechanischen Beschränkungen vereinfachen, gehen Sie davon aus, dass:

  1. Das System bleibt auf dem eingeschränkten Pfad; Und
  2. Es wird keine Energie in den Beschränkungen gespeichert.

Je steifer eine reale mechanische Zwangsbedingung wird, dh je größer ihre Rückstellkraft in Abhängigkeit von der Abweichung wird, desto mehr nähert sie sich diesem Ideal, indem man eine zunehmende Kraft aufbringen muss, um eine bestimmte Abweichung zu erreichen oder eine bestimmte Energiemenge zu speichern .

Im Grenzfall geht die Rückstellkraft gegen unendlich und die Annahmen gelten, solange die Kräfte gegen die Zwangsbedingungen endlich sind.

Dies kommt dem nahe, was @Qmechcanic gesagt hat, außer dass die Schlüsselidee darin besteht, dass keine endliche Kraft Energie in den Einschränkungen speichern kann, sodass es keine Schwingungen gegen die Einschränkungen oder ähnliches geben kann.

Das ist Physik, also sollte die Frage darauf hinauslaufen, was Sie in einem Experiment messen würden. Was würden Sie sehen, wenn Sie einen Zwangsmechanismus bauen und eine Wägezelle an der Stelle platzieren würden, an der die Zwangskraft ausgeübt wird? Die obigen Antworten geben Ihnen theoretische Ansätze, wobei zu beachten ist, dass eine Wägezelle eigentlich eine sehr steife Feder mit einem sehr empfindlichen Dehnungsmessstreifen ist. Wenn Sie echte Physik und keine Lehrbuchaufgaben machen, sollten Sie den Mechanismus bauen und ihn verwenden, um Ihre Ergebnisse zu testen.

Oder vielleicht sollte die Frage lauten, ob die Idealisierung Sie in Schwierigkeiten bringt und zu unrealistischen Ergebnissen führt. Dies betrifft natürlich alle Anwendungen der mathematischen Unendlichkeit in der Physik. Im Allgemeinen ist es eine schwierige Frage. Lehrbücher neigen dazu, die Wege durch das Minenfeld aufzuzeichnen, die Sie benötigen, um ihre Probleme zu lösen, aber am Ende wissen Sie nicht, wo sich die Minen tatsächlich befinden.

Sind Zwangskräfte unendlich?
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