Modellierung externer Kräfte in der Lagrange-Dynamik

Eine äußere Kraft$F_{\rm ext}(t)$erscheint als Quellterm$qF_{\rm ext}(t)$im Lagrange. Wenn die Bewegungsgleichung beispielsweise lautet:

$$\tag{1} m\ddot{q}~=~-\frac{\partial V(q)}{\partial q} + F_{\rm ext}(t),$$

dann liest die Lagrange-Funktion

$$\tag{2} L(q,\dot{q},t)~=~\frac{m}{2}\dot{q}^2-V(q)+ qF_{\rm ext}(t).$$

Für den Fall, dass die Kraft konservativ ist , würde ich die Kraft modellieren, indem ich einen zusätzlichen potenziellen Term hinzufüge$\psi$zum Lagrange, so dass:

$$\vec{F} = -\nabla\psi$$

Wenn der ungezwungene Lagrange war

$$L_{\text{unforced}} = T - V$$ die erzwungene Version ist jetzt $$L_{\text{forced}} = T - (V + \psi)$$

Soweit mir bekannt ist, ist die Modellierung nicht-konservativer Kräfte im Lagrange-Rahmen schwierig, daher würde mich interessieren, ob jemand weiß, wie das gemacht wird (oder ob es überhaupt möglich ist).

Ich habe die Antwort irgendwo gelesen, aber jetzt, als ich sie überprüfen wollte, fand ich stattdessen diese Frage. Also mache ich das aus einer undichten Erinnerung.

Was Sie tun, ist die geleistete Arbeit zu berechnen,$W(q)$, durch die Kraft als Funktion von wie$q$(die verallgemeinerte Position) ändert sich. Dann lautet die Modifikation der Euler-Lagrange-Gleichungen:

$$\frac d{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} = \frac{\partial W}{\partial q}$$

Stellen Sie sich zum Beispiel ein Doppelpendel vor, bei dem das erste Pendel lang ist$L_1$, hat Masse$m_1$an seinem Ende befestigt und bildet einen Winkel$\theta_1$zur Senkrechten, und daran hängt ein zweites Längenpendel$L_2$, eine Masse haben$m_2$an seinem Ende befestigt und einen Winkel bilden$\theta_2$zur Vertikalen. Angenommen, wir wenden eine Kraft an$F$zur Masse am Ende des zweiten Pendels in horizontaler Richtung. Dann

$$L = \tfrac12 L_1^2 m_1 \dot \theta_1^2 + \tfrac12 L_2^2 m_2 \dot \theta_2^2 - m_1 g L_1 \cos(\theta_1) - m_2 g \bigl(L_1 \cos(\theta_1) + L_2 \cos(\theta_2)\bigr)$$ Und $$W = F \bigl(L_1 \sin(\theta_1) + L_2 \sin(\theta_2)\bigr) .$$ Die letztere Formel ist lediglich Kraft mal Weg. Es muss nur „lokal wahr“ sein, das heißt, für kleine Störungen korrekt sein $q$.

Für ein Einzelpendel mit konstantem Drehmoment$T$am Pivot angewendet, hätten wir

$$W = T \theta .$$ Die Bewegungsgleichung wäre also $$\ddot \theta + \frac g L \sin \theta = \frac T {L^2 m} .$$

Ich würde sagen, wenn externe nichtkonservative Kräfte in einem System vorhanden sind, wird das Modell mithilfe des d'Alabertschen Prinzips entworfen, dh des Prinzips der virtuellen Arbeit, das Euler-Lagrange verallgemeinert.

Das D'Alamber-Prinzip (Prinzip der virtuellen Arbeit) besagt, dass die Variation

$$\int_{t_0}^{t_1}\, \Big(\, \delta L\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, - \,Q(q,\, \dot{q}, t) \cdot \delta q \, \, \Big) dt \, = \, 0$$ für jede Variation$\delta q = \delta q(t)$der Bahn des Systems$q = q(t)$die zwei feste Ereignisse verbindet$(q_0, t_0)$Und$(q_1, t_1)$. Genau wie bei Euler-Lagrange eine Trajektorie$q = q(t)$ist eine Lösung, genau wann $$\int_{t_0}^{t_1} \left( \, \Big[\,\, \frac{d}{dt}\Big(\, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, \Big) \, - \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big)\,\Big] \cdot \delta q \, - \, Q(q,\, \dot{q}, t) \cdot \delta q \, \, \right) dt \, = \,$$ $$\int_{t_0}^{t_1} \left( \, \Big[\,\, \frac{d}{dt}\Big(\, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, \Big) \, - \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, - \, Q(q,\, \dot{q}, t) \, \Big] \cdot \delta q \, \, \right) dt \, = \, 0$$ was die Gleichungen liefert $$\frac{d}{dt}\Big(\, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, \Big) \, - \, \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\big(q, \, \dot{q}, \, t\big) \, = \, Q(q,\, \dot{q}, t)$$