Schätzung der Energie, die von einem Dämpfer/Dampftopf abgeführt wird

Ich habe ein System mit einer Masse M am Ende eines Kabels befestigt. Die Kabelmasse wird als vernachlässigbar angenommen. Das Kabel wird an einem Ende am Boden befestigt, während das andere Ende mit der befestigten Masse verbunden ist M , bewegt sich vertikal mit einer bekannten Geschwindigkeit v . Das Kabel wird als System 2. Ordnung mit bekannten Werten für die Dämpfung modelliert B und Frühling k Koeffizienten. Ich versuche, das Energieerhaltungsprinzip zu verwenden, um die Impulskraft zu bestimmen, die im Kabel (insbesondere am beweglichen Ende) entsteht, wenn das Kabel straff wird, aber ich habe Probleme, die aufgrund der Kabeldämpfung verbrauchte Energie zu berücksichtigen. Das Kabel wird gut gedämpft, was die erzeugte Impulskraft erheblich reduziert. Ich habe folgendes Gleichungssystem aufgestellt, hat jemand einen Rat, wie ich sie lösen kann? Ich vermute, dass ich einem iterativen Prozess folgen muss? Oder gibt es eine alternative Methode, der ich folgen könnte, die einfacher wäre?

E 1 = E 2
E 1 = 1 2 M v 1 2
E 2 = 1 2 k X 2 + M G X + ∫ 0 T B v ( T ) 2 D T
v ( T ) = v 0 + ∫ 0 T A ( T ) D T
A ( T ) = F ( T ) / M
F ( T ) = k X ( T ) + B v ( T ) + M G

E 1 ist die kinetische Energie in dem Moment, bevor sich das Kabel zu dehnen beginnt, während E 2 ist die Energie des Systems, wenn die Masse zum Stillstand gekommen ist und das Kabel sich über eine gewisse Strecke vertikal gestreckt hat X . Die Energie im System bei E 2 ist gleich der in der Feder gespeicherten Energie, der Zunahme der potentiellen Energie aufgrund der Dehnung des Kabels über eine Strecke X und die Energie, die durch den Dämpfer/Dampftopf dissipiert wird. Ich versuche, Gleichung 3 zu lösen , um die Änderung der Kabellänge zu berechnen X , aus der ich dann die Impulskraft berechne,

F ich M P u l S e = k X

Liegt die Antwort vielleicht darin, diese Gleichungen mit dem Impulserhaltungssatz zu verwenden?

M v 1 = F ich M P u l S e ∗ T

Es wird auch angenommen, dass sich die Masse beim Aufprall nicht dreht, und ich vernachlässige die Energiedissipation aufgrund der Ausbreitung von Quer- oder Längswellen im Kabel.

Kabelmodell bei E_1

Ein paar klärende Fragen: Gilt das Kabel als masselos? Tritt die Dämpfung im gesamten Kabel auf? Können Sie ein Diagramm des Aufbaus zeichnen - wo genau tritt die Dämpfung auf? Wenn Sie nach der momentanen Beschleunigung der Masse beim Loslassen (bei gespanntem Seil) fragen, ist dies nur eine Lösung der Differentialgleichung für einen gedämpften harmonischen Oszillator mit den Randbedingungen v(0)=0. Sie sollten in der Lage sein, zu finden D v / D T und damit die Beschleunigung - aus der die Kraft folgt.
Das ist unklar: ein Kabel mit Dämpfungseigenschaften? Meinst du ein Bungee-Seil mit hoher Hysterese? Diagramm, bitte.
Hallo @Floris, Gert Ich habe ein einfaches Diagramm des Modells in Moment 1 hinzugefügt, kurz bevor sich das Kabel zu dehnen beginnt. Die Masse bewegt sich vertikal (nur entschuldigen Sie bitte, dass das Diagramm etwas schief ist) mit einer bekannten Anfangsgeschwindigkeit v = v 1 .
Um Ihre Frage zu beantworten, @Floris, ja, ich vernachlässige die Kabelmasse. Ich verwende zusammengefasste Werte für die Feder- und Dämpfungskoeffizienten und gehe davon aus, dass sie im gesamten Kabel konstant sind. Ich versuche, die Impulskraft zu berechnen, die von der bewegten Masse auf das gespannte Kabel erzeugt wird. Ich kann es von der sofortigen Beschleunigung aus lösen, aber dann benötige ich die Längenänderung des Kabels sicher? Dieser Wert ist unbekannt. Ich kenne nur die Geschwindigkeit v 1 und die Kabeleigenschaften.
@Gert, das Kabel würde meiner Meinung nach einen gewissen Hysteresebeitrag haben, aber das Kabel ist nicht sehr elastisch und daher modelliere ich es als vernachlässigbar. Die Dämpfung entsteht durch innere Reibungskräfte im Kabel, die die Energie als Wärme abgeben.

Antworten (2)

Wenn anfangs die Masse an ist X = 0 und die Anfangsgeschwindigkeit ist v dann ist die (unterdämpfte) Positionsantwort:

X ( T ) = X exp ⁡ ( − β T ) Sünde ⁡ ( ω T ) = v ω e − ζ ω N T Sünde ⁡ ( ω T )

Wo

ω N = k M ζ = D 2 M ω N = D 2 k M ω = ω N 1 − ζ 2 = k M − D 2 4 M 2

Die Kraft auf das Seil ist F = k X + D X ˙ und der Impuls ist J = ∫ F D T definiert über eine halbe Schwingungsperiode. Das Einstecken der Positionsantwort ergibt

J = ∫ 0 π ω k X + D X ˙ D T = = v M ( 1 + e − π ζ 1 − ζ 2 )

Also ohne Dämpfung ζ = 0 Und J = 2 v M für einen perfekten "Sprung" und mit kritischer Dämpfung ζ = 1 Und J = v M mit einer "plastischen" Reaktion. Das Obige kann als Restitutionskoeffizient neu definiert werden ϵ mit

ϵ = e − π ζ 1 − ζ 2

Die kinetische Energie ist E = 1 2 M X ˙ 2 und sein Wert bei der N -ten Halbwelle der Schwingung ist

E N = 1 2 M v 2 ϵ 2 N
und da der Restitutionskoeffizient ist 0 ≤ ϵ ≤ 1 Dann E N ≤ E 0 = 1 2 M v 2

Du Star, danke! Das sieht ziemlich genau richtig aus. Ich habe nur zwei Fragen. Erstens, kann ich die Lösung des Integrals finden - J = ∫ 0 π ω k X + D X ˙ D T - irgendwo als Plausibilitätsprüfung oder hast du das selbst berechnet? Zweitens sollte die Gleichung - F = k X + D X ˙ - die Gravitationskomponente nicht enthalten?
Der Dämpfungsanteil vereinfacht sich auf Null
D ∫ X ˙ D T = D ∫ 0 π ω D D T X exp ⁡ ( − β T ) Sünde ⁡ ( ω T ) D T = 0
Und der Steifheitsteil gibt nach
k ∫ X D T = k ∫ 0 π ω X exp ⁡ ( − β T ) Sünde ⁡ ( ω T ) D T = k X ω β 2 + ω 2 ( 1 + e − π β ω )
Eine kleine Änderung - die "Gleichgewichtsposition" für die Schwingung ist die Position, an der die Federkraft der Schwerkraft entgegenwirken würde; außer dass dies, da es sich um ein Seil handelt, nur ziehen, nicht schieben kann. Die Bewegungsgleichung ist die gleiche für die Zeit, in der das Seil gespannt ist, aber es gibt einen zusätzlichen Kraftterm, der die Gleichgewichtslage leicht verschiebt. Ansonsten ist dies die Analyse, auf die ich angedeutet habe, aber keine Zeit hatte, sie aufzuschreiben - also Props (und Upvotes) für Sie, dass Sie es getan haben.

Mir scheint, Sie machen es sich komplizierter, als es sein muss. Wenn das Kabel zum ersten Mal straff wird, ist die Federkraft noch nicht im Spiel und die einzige Kraft wird es sein v ⋅ k - durch die Definition des Widerstands im Dash-Pot. Sie können die nachfolgende Bewegung berechnen, indem Sie den gedämpften harmonischen Oszillator lösen.

Sag Bescheid, ob das reicht?

Nein, ich glaube nicht, dass das richtig ist @Floris. Die innere Reibung beginnt erst dann, Energie zu absorbieren, wenn sich das Kabel verlängert. Das Kabel beginnt dann aufgrund der Feder gleichzeitig, Energie als elastische Energie/Dehnungsenergie zu absorbieren E S = 1 2 k X 2 , und das System gewinnt auch potenzielle Energie (natürlich übertragen von der anfänglichen kinetischen Energie) aufgrund der anschließenden Zunahme der Höhe.
Letztendlich hängt die Impulskraft sowohl vom viskosen Dämpfer als auch von der Feder ab, wobei sich die Beiträge jeder Komponente mit der Zeit ändern (der Dämpferbeitrag ist maximal bei T = 0 + , mit F D = B v 1 + , während der Federbeitrag maximal ist, wenn die Masse bei zur Ruhe kommt T = T , mit F k = k X . Was ich idealerweise möchte, ist eine Möglichkeit, die Energie abzuschätzen, die vom Dämpfer verbraucht wird, wenn sich die Masse verlangsamt. Dann werde ich diese Energiemenge aus dem System entfernen, um die Entfernung zu schätzen X dass sich das Kabel dehnt, und verwenden Sie dies, um die durchschnittliche Impulskraft abzuschätzen.
OK - Sie suchen also nach der maximal erreichten Höhe und einer Schätzung der durchschnittlichen Kraft, wenn sich die Masse verlangsamt. Und Sie denken, dass die Verschiebung ausreicht, dass der Einfluss der Schwerkraft während dieser Verzögerung nicht ignoriert werden kann. Rechts?
Ja genau. Ich habe grob mit und ohne potentielle Energie gerechnet, wobei ich die Dämpfung vernachlässigt habe und die sich ganz erheblich auf die Impulskraft ausgewirkt hat. Ungefähr 30-35%, obwohl das definitiv weniger wird, wenn ich irgendwie eine Schätzung für die Dämpfung einbeziehen kann.
Schätzung der Energie, die von einem Dämpfer/Dampftopf abgeführt wird
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v