Ableitung der 000-Komponente des 4-Impulses unter Verwendung der relativistischen Lagrangefunktion

Das ist eine gute Frage.

1. Beachten Sie zunächst, dass es widersprüchlich ist, die richtige Zeit zu verwenden $\tau$als Parameter der Weltlinie (WL).$\lambda$für das Prinzip der stationären Wirkung (PSA) . Der Punkt ist, dass der WL-Parameter$\lambda$Variiert wird nie in der PSA, sondern in der Handlung $S$passiert proportional zu sein$\tau$, die wir zu maximieren versuchen. Insbesondere der ganz rechte Ausdruck$-m_0c^2\left(\frac{dx^{0}}{d\tau}\right)^{-1}$in OPs Gl. (1) kann nicht als Off-Shell-Formel für die Lagrange-Funktion verwendet werden$L$, obwohl korrekt im Wert. Das gleiche Problem wird in meinen Phys.SE-Antworten hier und hier mit etwas anderen Worten behandelt.

2. In Ref.-Nr. 1 der WL-Parameter$\lambda=t\equiv \frac{x^0}{c}$ist stattdessen die Laborzeit, dh es verwendet das statische Messgerät wo$\dot{x}^0=c$. (In dieser Antwort bedeutet Punkt Differenzierung bzgl.$\lambda$.) Konzeptionell ist dies der einfachste Weg. Dies zerstört jedoch die manifeste (aber nicht tatsächliche) Lorentz-Kovarianz, also die Ableitung$\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^0}$macht keinen Sinn. Ref. 1 erhält also den 0-Anteil$p_0$auf Umwegen, was meiner Phys.SE-Antwort hier entspricht .

3. Lassen Sie uns abschließend auf die Frage von OP zurückkommen: Ja, es gibt eine manifeste Lorentz-kovariante Formulierung, in der$p_0=\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^0}$, aber es beinhaltet Eichsymmetrie und Einschränkungen und ist konzeptionell anspruchsvoller, vgl. zB meine Phys.SE antwortet hier & hier .

Verweise:

1. L. Susskind & A. Friedman, Spezielle Relativitätstheorie und klassische Feldtheorie: Das theoretische Minimum, 2017; P. 102-106.

$X_i$nach der Eigenzeit differenziert wird$X_0$nur. Betrachtet man also die Ableitung von$X_0$gegenüber$X_0$, das ist einer, und daher$d(\dot{X_0})$ist identisch Null! Wenn Sie die Lagrange-Funktion jedoch nur zur Berechnung der Energie verwenden möchten, können Sie sich auf das Noether-Theorem berufen und die Noether-Ladung entsprechend den Zeitübersetzungen berechnen. Ich hoffe das hilft.