Spezielle Relativitätstheorie: Finden der Euler-Lagrange eines massiven Teilchens

Question

Spezielle Relativitätstheorie: Finden der Euler-Lagrange eines massiven Teilchens

PhilosophischePhysik

Wissend, dass

\begin{matrix} (1) & L = - M C \sqrt{- η_{A B} \frac{D ξ^{A}}{D λ} \frac{D ξ^{B}}{D λ}} \end{matrix}

$\tag{1} L= -mc\sqrt{-\eta_{ab}\frac{d\xi^a}{d\lambda}\frac{d\xi^b}{d\lambda}}$ wir bekommen

\begin{matrix} (2) & P_{A} = \frac{\partial L}{\partial (D ξ^{A} / D λ)} = M η_{A B} u^{B} . \end{matrix}

$\tag{2} p_a=\frac{\partial L}{\partial(d\xi^a/d\lambda)} = m\eta_{ab}u^b.$

Woher? Wenn ich das differenziert hätte $L$ gegenüber

\begin{matrix} (3) & D ξ^{A} / D λ \end{matrix}

$\tag{3} d\xi^a/d\lambda$

Ich bekomme eine ganz andere Antwort. Sollte es nicht sein

\begin{matrix} (4) & P_{A} = (- M C) {(- η_{C D} \frac{D ξ^{C}}{D λ} \frac{D ξ^{D}}{D λ})}^{- 1 / 2} (- η_{A B} \frac{D ξ^{B}}{D λ}) ? \end{matrix}

$\tag{4} p_a= (-mc)\left(-\eta_{cd}\frac{d\xi^c}{d\lambda}\frac{d\xi^d}{d\lambda}\right)^{-1/2}\left( -\eta_{ab}\frac{d\xi^b}{d\lambda} \right) ~?$

Wie wurde dies durchgeführt?

Jold

Warum die Quadratwurzel behalten? Denken Sie daran, wenn

L

$L$ erfüllt dann die EL-Gleichung

L^{'} = f (L)

$L'=f(L)$ wird sie auch erfüllen, solange Ihr Parameter

λ

$\lambda$ ist affin. Ich empfehle die Verwendung

L^{'} = L^{2}

$L'=L^2$ um die Quadratwurzel loszuwerden - es wird die Dinge viel einfacher machen.

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/149082/2451

Antworten (1)

Spezielle Relativitätstheorie: Finden der Euler-Lagrange eines massiven Teilchens

Warum die Quadratwurzel behalten? Denken Sie daran, wenn $L$ erfüllt dann die EL-Gleichung $L'=f(L)$ wird sie auch erfüllen, solange Ihr Parameter $\lambda$ ist affin. Ich empfehle die Verwendung $L'=L^2$ um die Quadratwurzel loszuwerden - es wird die Dinge viel einfacher machen.

Leere · Answer 1

Ihr letzter Ausdruck (4) ist gleich (2), Sie müssen nur erkennen, was er sagt. $\lambda$ ist nicht $\tau$ Und

u^{C} = \frac{D ξ^{C}}{D τ} = \frac{D ξ^{C}}{D λ} \frac{D λ}{D τ}

$u^c = \frac{d\xi^c}{d \tau} = \frac{d\xi^c}{d \lambda} \frac{d\lambda}{d \tau}$ Wenn Sie auf Ihren Lagrange zurückblicken und wie er abgeleitet wurde, sollten Sie in der Lage sein zu sagen, was ist

d λ / d τ

$d\lambda/d\tau$ .

Um sehr explizit zu sein, ist die Aktion eines freien relativistischen Teilchens

S = - M C^{2} \int D τ = - M C^{2} \int \frac{D τ}{D λ} D λ

$S = -mc^2\int d\tau = -mc^2\int \frac{d\tau}{d\lambda} d\lambda$ wobei wir eine Umparametrisierung in einen allgemeinen Parameter verwendet haben

λ

$\lambda$ . Jetzt hast du

L = - M C^{2} \frac{D τ}{D λ}

$L = -mc^2 \frac{d \tau}{d \lambda}$ Wenn Sie dies mit Ihrer Gleichung (1) und mit dem Wissen vergleichen

d λ / d τ = (d τ / d λ)^{- 1}

$d\lambda/d\tau= (d\tau/d\lambda)^{-1}$ , sollten Sie den Ausdruck für erhalten

u^{c}

$u^c$ bezüglich

λ

$\lambda$ -Parametrierung sehr einfach. Wenn Sie diesen Ausdruck in (2) einsetzen, erhalten Sie (4).

Ich verstehe das nicht. Sie können sicherlich wählen $\lambda = \tau$ wenn Sie wollen.
Ja, und in diesem Fall hätten Sie es getan $d\lambda/d\tau = 1$ wie anhand der Formel für verifiziert werden kann $d\lambda/d\tau$ und Vier-Geschwindigkeits-Normalisierung $\eta_{ab}u^a u^b = -1$ .
@void Aber wenn ich möchte, dass meine Parametrisierung erfolgt $λ$ $\lambda$ wie sind (2) und (4) gleich? Sie tun es nicht, es sei denn -ja- was Sie erwähnt haben, indem Sie den Parameter auf geändert haben $τ$ $\tau$ .
@PhilosophicalPhysics Ich habe der Antwort einige weitere Hinweise hinzugefügt, ich denke, es sollte jetzt ganz einfach sein.

Spezielle Relativitätstheorie: Finden der Euler-Lagrange eines massiven Teilchens

PhilosophischePhysik

Jold

QMechaniker

Antworten (1)

Leere

Jold

Leere

PhilosophischePhysik

Leere

Ableitung des Kraftgesetzes in der speziellen Relativitätstheorie

Ableitung der 000-Komponente des 4-Impulses unter Verwendung der relativistischen Lagrangefunktion

Relativistische Lorentzkraft mit konstanten, senkrechten und gleichförmigen E- und B-Feldern

Analytische Mechanik mit SR

Die Variation der Lagrange-Dichte unter einer infinitesimalen Lorentz-Transformation

Woher kommt die Gleichung p=1cT2+2mTc2−−−−−−−−−−√p=1cT2+2mTc2p=\frac{1}{c}\sqrt{T^2 +2mTc^2}?

Satz von Noether und Energie im Viererimpuls

Zusätzlicher Term bei der Berechnung der Variation der Lagrange-Dichte unter der infinitesimalen Lorentz-Transformation

Wie hängt die Zeitkomponente des Raumzeitintervalls in einem Raumzeitdiagramm mit der Zeitkomponente des Energie-Impuls-4-Vektors zusammen?

Weinberg QFT 1 Normalisierung eins 1 Teilchenzustände p. 66