Analytische Mechanik mit SR

Ein Lagrange-Operator kann für ein relativistisches Teilchen in einer gekrümmten Raumzeit (dh unter dem Einfluss der Schwerkraft) leicht niedergeschrieben werden. Insbesondere ist die „Aktion“ die Eigenzeit zwischen zwei Ereignissen entlang der Weltlinie eines Teilchens, und die Flugbahn des Teilchens wird Extremize die richtige Zeit zwischen diesen Ereignissen:

$$S = \tau = \int \sqrt{ - g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu }$$ Hier, $s$ein Parameter entlang der Weltlinie des Partikels ist, und $x^\mu$sind ein Satz von Raumzeitkoordinaten.

Insbesondere wenn wir ein Testteilchen betrachten wollen, das sich in einem schwachen Gravitationsfeld bewegt, dann ist die Metrik so

$$S = \int \sqrt{ \left( 1 + \frac{2 \Phi}{c^2} \right) dt^2 - \left( 1 - \frac{2 \Phi}{c^2} \right) d\vec{r}^2 } = \int \sqrt{ \left( 1 + \frac{2 \Phi}{c^2} \right) - \left( 1 - \frac{2 \Phi}{c^2} \right) \vec{v}^2 } dt$$ Wo $\Phi (\vec{r})$ist das Newtonsche Gravitationspotential und $\vec{v} = d\vec{r}/dt$ist die Koordinatengeschwindigkeit des Teilchens. Extremisieren dieses Integrals über alle Pfade $\vec{r}(t)$ergibt die Bewegungsgleichungen für das Teilchen. ¹ Sie können auch einen Hamilton-Operator aus diesem "Lagrange-Operator" (dh dem obigen Integranden) definieren, indem Sie auf die übliche Weise eine Legendre-Transformation vornehmen.

Kostenloser Bonus Lagrange: Wenn Sie Ihrem relativistischen Teilchen eine Ladung hinzufügen möchten, können Sie das auch tun; der Lagrange wird

$$S = \int \sqrt{ - g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu } + q \int A_\mu dx^\mu$$ Wo $A_\mu$ist das relativistische Viervektorpotential.

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¹ Dies setzt voraus$t$ist ein gültiger Parameter für die Flugbahn des Teilchens, der im Fall schwacher Gravitationsfelder gilt, aber möglicherweise nicht in stärkeren Gravitationsfeldern (z. B. schwarzen Löchern).