Ableitung von Hamiltons dritter Beziehung. Wo ist der Fehler?

Als eine Art Fortsetzung meiner vorherigen Frage möchte ich auf zwei Ableitungen von Hamiltons dritter Beziehung hinweisen, die zu zwei unterschiedlichen Ergebnissen führen. Offensichtlich gibt es einen Fehler innerhalb des Prozesses, aber ich kann nicht herausfinden, wo er liegt.

Der erste Versuch ist der gleiche, der von meinen anderen Klassenkameraden verwendet wird, und er besagt, dass, wenn der Hamilton-Operator die Legendre-Transformation des Lagrange-Operators ist, wir dann, indem wir das totale Differential beider Seiten nehmen, jede partielle Ableitung abgleichen können, die ein gemeinsames totales Differential multipliziert. Die Paarung zwischen jedem Begriff ergibt auf einen Schlag die drei Hamilton-Beziehungen.

Schreiben Sie die Legendre-Transformation von auf$H=H(q,p,t)$, in diesem Fall sollte es geschrieben werden als$H=H(q_1,\ldots,q_N,p_1,\ldots,p_N,t)$Aber$N=1$Freiheitsgrad wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen. Der Hamiltonoperator des Systems ist dann:

$$H=p\dot q-L$$ Nimmt man das exakte Differential von beiden Seiten, erhält man: $$\mathrm{d}H=\dot q\mathrm{d}p+p\mathrm{d}\dot q-\mathrm{d}L$$ Aber hier $L=L(q,\dot q,t)$das Lagrange-Gesamtdifferential ist also gleich: $$\mathrm{d}L=\left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot q,t}\mathrm{d}q+\left(\frac{\partial L}{\partial\dot q}\right)_{q,t}\mathrm{d}\dot q+\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\mathrm{d}t$$ da per Definition der kanonische Impuls $p$ist definiert als $(\partial_{\dot q}L)_{q,t}$, wäre es ohne diese Definition nicht möglich gewesen, die erste Gleichung aufzuschreiben. Unter Verwendung der Euler-Gleichung für die erste partielle Ableitung erhalten wir: $$\mathrm{d}L=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)_{q,t}\mathrm{d}q+p\mathrm{d}\dot q+\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\mathrm{d}t=\dot p\mathrm{d}q+p\mathrm{d}\dot q+\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\mathrm{d}t$$ Setzen wir die letzte Gleichung in die zweite Gleichung zurück, erhalten wir: $$\mathrm{d}H=\dot q\mathrm{d}p+p\mathrm{d}\dot q-\dot p\mathrm{d}q-p\mathrm{d}\dot q-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\mathrm{d}t=\dot q\mathrm{d}p-\dot p\mathrm{d}q-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\mathrm{d}t$$ So weit, so gut, jetzt müssen wir nur noch das explizite exakte Differential des Hamiltonoperators aufschreiben und die Differentiale zwischen den Ausdrücken überprüfen: $$\begin{align} \mathrm{d}H&=\left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p,t}\mathrm{d}q&+&\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{q,t}\mathrm{d}t&+&\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)_{q,p}\mathrm{d}t\\ &=\qquad\dot p\mathrm{d}q&-&\qquad\dot q\mathrm{d}p&-&\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\mathrm{d}t \end{align}$$ dann können drei Hamilton-Beziehungen erhalten werden: $$\left(\frac{\partial H}{\partial q}\right)_{p,t}=\dot p\quad ;\quad \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_{q,t}=-\dot q\quad ;\quad \left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)_{p,q}=-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}$$ Die zweite Ableitung ist schneller, denn anstatt das Gesamtdifferential von beiden Seiten der Legendre-Transformation zu nehmen, nehmen wir die Gesamtzeitableitung: $$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(p\dot q)}{\mathrm{d}t}-\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}$$ dann durch Erweitern der Gesamtzeitableitung der Lagrange-Funktion und Anwendung der gleichen Definitionen wie zuvor: $$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}+\left(\frac{\partial L}{\partial q}\right)_{\dot q,t}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}+\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)_{q,t}\frac{\mathrm{d}\dot q}{\mathrm{d}t}=\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}+\dot p\dot q+p\ddot q$$ Aber $\dot p\dot q+p\ddot q = \mathrm{d}(p\dot q)/\mathrm{d}t$, wenn wir also die letzte Gleichung durch die Gesamtzeitdifferenz ersetzen, erhalten wir: $$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(p\dot q)}{\mathrm{d}t}-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}-\dot p\dot q-p\ddot q=\frac{\mathrm{d}(p\dot q)}{\mathrm{d}t}-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}-\frac{\mathrm{d}(p\dot q)}{\mathrm{d}t}$$ die letzte, dritte Hamilton-Relation lautet also: $$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}\quad\text{is different from}\quad \left(\frac{\partial H}{\partial t}\right)_{p,q}=-\left(\frac{\partial L}{\partial t}\right)_{q,\dot q}$$ Die letzte Frage ist: Warum liefern diese Methoden unterschiedliche Ergebnisse? Wenn einer von ihnen falsch ist, wo ist der Fehler? Dies stammt aus einem Kurs in technischer Physik im zweiten Jahr, aber weisen Sie darauf hin, dass der Haken in meiner Argumentation zu erkennen wäre.