$\newcommand{\qd}[0]{\dot{q}}$ $\newcommand{\pd}[0]{\dot{p}}$ $\newcommand{\pq}[0]{\partial_q}$ $\newcommand{\pqo}[0]{\partial_{q_1}}$ $\newcommand{\pqt}[0]{\partial_{q_2}}$ $\newcommand{\pp}[0]{\partial_p}$ $\newcommand{\pqd}[0]{\partial_{\qd}}$ $\newcommand{\pqtd}[0]{\partial_{\dot{q}_2}}$

$\newcommand{\rd}[0]{\dot{r}}$Rezension

Beginnen wir mit einem Rückblick. Wenn Sie ein System haben, das ein Lagrange beschreibt$L(q,\dot{q})$, entwickelt sich das System gemäß der Gleichung$d_t \pqd L = \pq L$.

Wir können eine Menge definieren$p = p(q,\qd)=\pqd L$. Jetzt behandeln$q$als Parameter können wir die Abhängigkeit von umkehren$p$An$\qd$zu bekommen$\qd = \qd (q,p)$(so dass$p(q,\qd (q,p)) = p$für alle$q$Und$p$).

Wir definieren nun den Hamiltonoperator$H$die legendre Transformation des Lagrange zu sein:$H(q,p) = p \qd (q,p) - L(q,\qd (q,p))$. Wenn wir die Abhängigkeit von nicht explizit schreiben$\qd$An$q$Und$p$, diese Formel wird$H= p \qd - L$.

Jetzt wissen wir, dass wir die Bewegungsgleichungen erhalten wollen$\qd = \pp H$Und$\pd = -\pq H$. Mal sehen, wie diese als Ergebnis der Bewegungsgleichungen aus dem Lagrangian zustande kommen.

Zuerst rechnen wir$\pq H$. Erinnere dich jetzt daran$\qd$ist eine Abkürzung für$\qd(q,p)$Und$L$ist eine Abkürzung für$L(q,\qd (q ,p))$. Denken Sie auch daran,$\pqd L (q, \qd (q, p)) \equiv p(q, \qd (q,p)) = p$.

Dann$\pq H = p \pq \qd - \pq L -\pqd L \pq \qd = (p-\pqd L) \pq \qd - \pq L= -d_t \pqd L = -\pd$. Die letzte Gleichheit verwendet die lagrangesche Bewegungsgleichung. Dies gibt uns eine Bewegungsgleichung. Holen wir uns das andere.$\pp H = \qd + p \pp \qd - \pqd L \pp \qd = \qd + (p-\pqd L) \pp \qd = \qd$.

Die Hamilton ermöglicht Ihnen, mit den Variablen zu arbeiten$q$Und$p$anstatt$q$Und$\qd$.

Es lohnt sich zu beachten, dass die gesamte Diskussion für höherdimensionale Systeme gültig ist, wenn sie erneut gelesen wird$q \to \vec{q}$,$p \to \vec{p}$, Und$\partial \to \nabla$.

Der Routhianer

Nehmen wir nun an, Sie haben ein 2D-System mit Koordinaten$\vec{q} = (q_1, q_2)$mit lagrange$L(\vec{q}, \dot{\vec{q}})$. Nehmen wir nun an, Sie würden lieber mit dem Momentum arbeiten$\vec{p} = \nabla_\dot{\vec{q}} L$, und der Hamiltonian$H(\vec{q}, \vec{p}) = \vec{p} \cdot \dot{\vec{q}} - L$. Leider haben Sie ein Problem. Ihr siamesischer Zwilling möchte im Lagrange-Formalismus arbeiten. Hier kommt der Routhian ins Spiel (soweit ich weiß). Sie machen Kompromisse und sagen, lasst uns definieren$p_1 = \partial{\dot{q}_1} L$, damit wir mit den Variablen arbeiten$q_1$,$p_1$,$q_2$, Und$\dot{q}_2$und definieren wir$R = p_1 \dot{q}_1 - L$.

Wie lauten die Bewegungsgleichungen? Lassen Sie uns einige Ableitungen von berechnen$R$. In Gedanken an$q_2$Und$\dot{q}_2$Als Parameter haben wir ein eindimensionales System und verwenden das Ergebnis für den Hamiltonoperator:$\partial_{q_1} R = -\dot{p}_1$Und$\partial_{p_1} R = \dot{q}_1$.

Was ist nun$\pqt R$? Also,$\pqt R = p_1 \pqt \dot{q}_1 - \pqt L - \partial_{\dot{q}_1} L \pqt \dot{q}_1 = (p_1 - \partial{\dot{q}_1} L)\pqt \dot{q}_1 - \pqt L = -\pqt L$.

Da wir jetzt keine Legendre-Transformation mit der zweiten Koordinate durchgeführt haben, würden wir erwarten, dass die Bewegungsgleichung immer noch wie die Lagrange-Gleichung aussieht. Das erwarten wir$d_t \pqtd R = \pqt R$. Seit$\pqt R = -\pqt L = -d_t \pqtd L$, hoffen wir das$d_t \pqtd R = -d_t \pqtd L$. Lass uns rechnen$d_t \pqtd R$.

$d_t \pqtd R = d_t (p_1 \pqtd \dot{q}_1 - \pqtd L - \partial{\dot{q}_1} L \pqtd \dot{q}_1) = - d_t \pqtd L$, das haben wir gehofft. Damit haben wir die erwartete Bewegungsgleichung:$d_t \pqtd R = \pqt R$.

Nehmen wir nun an, wir wollten den Hamiltonian von unserem Routhian erhalten. Wie könnte dies geschehen? Nun, der Hamiltonian ist$p_1 \dot{q}_1 + p_2 \dot{q}_2 - L$und unser Routhian ist$p_1 \dot{q}_1 - L$. Daher$H = p_2 \dot{q}_2 +R$, wo natürlich$p_2 = \partial_{\dot{q}_2} L$. Falls wir bereits vergessen haben, was der Ausdruck für den Lagrangian ist, schauen wir mal, ob wir ihn bekommen$p_2$bezüglich$\partial_{\dot{q}_2} R$.$\partial_{\dot{q}_2} R = p_1 \partial_{\dot{q}_2}\dot{q}_1 - \partial_{\dot{q}_2} L - \partial_{\dot{q}_1}L \partial_{\dot{q}_2} \dot{q}_1 = -\partial_{\dot{q}_2} L = - p_2$, So$p_2 = - \partial_{\dot{q}_2} R$. Mit diesem Ausdruck können wir auflösen nach$\dot{q}_2$bezüglich$q_1$,$p_1$,$q_2$, Und$p_2$. Dann$H(q_1, p_1, q_2,p_2) = p_2 \dot{q}_2 + R$.

Ihre Frage

Jetzt, da wir wissen, wovon wir sprechen, können wir anfangen, über Ihre Frage nachzudenken. Wir erhalten den Lagrangian

$$L(r, \rd, \phi, \dot{\phi}) = \frac{1}{2} (\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\phi}^{2} \sin^{2}\theta_{0})-r \cos(\theta_{0})$$ . (Ich habe gesetzt $m=g=1$.)

Jetzt sollen wir a handeln$\dot{\phi}$für$p_\phi \equiv \partial_{\dot{\phi}} L = r^{2}\dot{\phi} \sin^{2}\theta_{0}$. Daher$\dot{\phi} = \frac{p_\phi}{r^{2} \sin^{2}\theta_{0}}$. Der Routhian ist dann$R = p_\phi \dot{\phi} - L = \frac{p_\phi^2}{r^{2} \sin^{2}\theta_{0}} - \frac{1}{2} (\dot{r}^{2}+\frac{p_\phi^2}{r^{2} \sin^{2}\theta_{0}})+r \cos(\theta_{0}) = \frac{1}{2} (-\dot{r}^{2}+\frac{p_\phi^2}{r^{2} \sin^{2}\theta_{0}})+r \cos(\theta_{0})$.

Jetzt sagt unsere Bewegungsgleichung$\dot{p}_\phi = - \partial_\phi R = 0$. Daher$p_\phi$ist konstant; Ich habe nicht genug Informationen, um den Anfangswert zu ermitteln.

Wie wir oben gezeigt haben, ist die Bewegungsgleichung für$r$Ist$d_t \partial_{\dot{r}} R = \partial_r R$. So bekommen wir$\ddot{r} = \frac{2 p_\phi^2}{r^3 \sin^{2}\theta_{0}} - \cos(\theta)$.

Um nun den Hamiltonian vom Routhian zu bekommen, verwenden Sie$p_r = - \partial_{\dot{r}} R = \dot{r}$. Dann ist der Hamiltonian$H = p_r \dot{r} +R = \frac{1}{2} (p_r^{2}+\frac{p_\phi^2}{r^{2} \sin^{2}\theta_{0}})+r \cos(\theta_{0})$. Dies kann verifiziert werden, indem man den Hamiltonian direkt vom Lagrangeian erhält.

Nun, ich denke, wenn Sie die Antwort durchlesen, sollte alles klar sein. Stellen Sie Fragen, wenn ich etwas vergessen habe.