Die Variation der Lagrange-Dichte unter einer infinitesimalen Lorentz-Transformation

Question

Die Variation der Lagrange-Dichte unter einer infinitesimalen Lorentz-Transformation

Benutzer24999

Ich versuche, mich QFT nach diesen Vorträgen von David Tong vorzustellen. Ich habe mit Vorlesung 1 (Klassische Feldtheorie) begonnen und versuche das unter einer infinitesimalen Lorentz-Transformation der Form zu beweisen

\begin{matrix} (1.49) & {Λ^{μ}}_{v} = {δ^{μ}}_{v} + {ω^{μ}}_{v}, \end{matrix}

$\tag{1.49} {\Lambda^\mu}_\nu={\delta^\mu}_\nu+{\omega^\mu}_\nu,$

Wo $\omega$ antisymmetrisch ist, die Variation der Lagrange-Dichte $\mathcal{L}$ Ist

\begin{matrix} (1.53) & δ L = - \partial_{μ} ({ω^{μ}}_{v} X^{v} L) . \end{matrix}

$\tag{1.53} \delta\mathcal{L}=-\partial_\mu({\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\mathcal{L}).$

Verwenden $\mathcal{L}=\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu\phi)$ , ich habe es mit Computern versucht $\delta\mathcal{L}$ direkt verwenden

\begin{matrix} (1.52) & δ ϕ = - {ω^{μ}}_{v} X^{v} \partial_{μ} ϕ \end{matrix}

$\tag{1.52} \delta\phi=-{\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\partial_\mu\phi$

[die ich frühere Berechnungen explizit erhalten habe $\phi(x)\to\phi(\Lambda^{-1}x)$ ], aber ich bekomme

δ L = - \partial_{μ} ({ω^{μ}}_{v} X^{v} L) - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} {ω^{σ}}_{μ} \partial_{σ} ϕ

$\delta\mathcal{L}=-\partial_\mu({\omega^\mu}_\nu{x}^\nu\mathcal{L})-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}{\omega^\sigma}_\mu\partial_\sigma\phi$ Der zusätzliche Term entsteht, wenn ich rechne

\partial_{μ} (δ ϕ) = - {ω^{σ}}_{v} [{δ^{v}}_{μ} \partial_{σ} ϕ + X^{v} \partial_{μ σ} ϕ] = - {ω^{σ}}_{μ} \partial_{σ} ϕ - {ω^{σ}}_{v} X^{v} \partial_{μ σ} ϕ

$\partial_\mu(\delta\phi)=-{\omega^\sigma}_\nu\left[{\delta^\nu}_\mu\partial_\sigma\phi+x^\nu\partial_{\mu\sigma}\phi\right]=-{\omega^\sigma}_\mu\partial_{\sigma}\phi-{\omega^\sigma}_\nu{x}^\nu\partial_{\mu\sigma}\phi$

[weil ich annehme $\partial_\mu(\delta\phi)=\delta(\partial_\mu\phi)$ ]; Ich dachte, ich würde es loswerden, nur ersetzen $\phi$ mit $\partial_\sigma\phi$ In $(1.52)$ , Jedoch $\partial_\mu(\delta\phi)=\delta(\partial_\mu\phi)$ sollte doch halten, oder? Ich habe auch versucht, (den vorherigen Ausdruck zu) 1,27 in den Vorlesungen zu verwenden, nämlich dass sich die Ableitungen des Feldes transformieren als

\begin{matrix} (1.26b) & \partial_{μ} ϕ (X) \to {(Λ^{- 1})^{v}}_{μ} \partial_{v} ϕ (Λ^{- 1} X), \end{matrix}

$\tag{1.26b} \partial_\mu\phi(x)\to{(\Lambda^{-1})^\nu}_\mu\partial_\nu\phi(\Lambda^{-1}x),$

aber ich bekomme immer noch (zur ersten Bestellung in $\omega$ ),

\begin{aligned} {(Λ^{- 1})^{v}}_{μ} \partial_{v} ϕ (Λ^{- 1} X) & = ({δ^{v}}_{μ} - {ω^{v}}_{μ}) \partial_{v} ϕ (X^{σ} - {ω^{σ}}_{ρ} X^{ρ}) \\ = ({δ^{v}}_{μ} - {ω^{v}}_{μ}) [\partial_{v} ϕ (X) - {ω^{σ}}_{ρ} X^{ρ} \partial_{σ v} ϕ (X)] \\ = \partial_{μ} ϕ - {ω^{σ}}_{ρ} X^{ρ} \partial_{σ μ} ϕ - {ω^{v}}_{μ} \partial_{v} ϕ \end{aligned}

$\begin{align}{(\Lambda^{-1})^\nu}_\mu\partial_\nu\phi(\Lambda^{-1}x)&=({\delta^\nu}_\mu-{\omega^\nu}_\mu)\partial_\nu\phi(x^\sigma-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho)\\&=({\delta^\nu}_\mu-{\omega^\nu}_\mu)\left[\partial_\nu\phi(x)-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\nu}\phi(x)\right]\\&=\partial_\mu\phi-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\mu}\phi-{\omega^\nu}_\mu\partial_\nu\phi\end{align}$

Ich wehre mich dagegen ${\omega^\nu}_\mu\partial_\nu\phi=0$ , aber ich verstehe nicht was ich falsch mache.

Antworten (2)

Die Variation der Lagrange-Dichte unter einer infinitesimalen Lorentz-Transformation

hallo · Answer 1

Unter der Vorraussetzung, dass $\mathcal{L}$ ist ein Lorentz-Skalar, die Menge $\partial\mathcal{L}/\partial(\partial_{\mu}\phi)$ muss einen oberen Index tragen. Seit $\mathcal{L}$ ist eine Funktion von $\phi$ Und $\partial_{\mu}\phi$ , das einzige Objekt, das einen solchen Index angeben kann, ist $\partial^{\mu}\phi$ . Somit

\frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} \propto \partial^{μ} ϕ .

$\begin{equation} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi)} \propto \partial^{\mu}\phi. \end{equation}$ Dann,

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} ω^{σ}_{μ} \partial_{σ} ϕ & \propto ω^{σ}_{μ} \partial_{σ} ϕ \partial^{μ} ϕ \\ = ω^{σ μ} \partial_{σ} ϕ \partial_{μ} ϕ \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi)} \omega^{\sigma}{}_{\mu}\partial_{\sigma}\phi \,&\propto \,\omega^{\sigma}{}_{\mu}\,\partial_{\sigma}\phi \,\partial^{\mu}\phi\\ &=\omega^{\sigma\mu} \partial_{\sigma}\phi\,\partial_{\mu}\phi\\ &=0. \end{split} \end{equation}$ Der letzte Ausdruck verschwindet, weil

\partial_{σ} ϕ \partial_{μ} ϕ

$\partial_{\sigma}\phi\,\partial_{\mu}\phi$ ist symmetrisch unter dem Austausch von Indizes, während

ω^{σ μ}

$\omega^{\sigma\mu}$ ist antisymmetrisch.

Ich verstehe eigentlich nicht, warum Tong nicht einfach geschrieben hat

δ L = - ω^{μ}_{v} X^{v} \partial_{μ} L .

$\begin{equation} \delta \mathcal{L} = -\omega^{\mu}{}_{\nu} x^{\nu}\partial_{\mu}\mathcal{L}. \end{equation}$ Schließlich,

L

$\mathcal{L}$ sollte die gleiche Transformationsvorschrift haben wie

ϕ

$\phi$ weil sie beide Lorentz-Skalare sind. Man kann die obige Gleichung verifizieren, indem man das notiert

δ L = - \partial_{μ} (ω^{μ}_{v} X^{v} L) = - ω^{μ}_{v} X^{v} \partial_{μ} L - ω^{μ}_{μ} L,

$\begin{equation} \delta \mathcal{L} = - \partial_{\mu}(\omega^{\mu}{}_{\nu}x^{\nu}\mathcal{L}) = -\omega^{\mu}{}_{\nu} x^{\nu}\partial_{\mu}\mathcal{L} - \omega^{\mu}{}_{\mu}\mathcal{L}, \end{equation}$ und das

ω^{μ}_{μ} = η_{μ ρ} ω^{μ ρ} = 0

$\begin{equation} \omega^{\mu}{}_{\mu} = \eta_{\mu\rho}\omega^{\mu\rho} = 0 \end{equation}$ Weil

η_{μ ρ}

$\eta_{\mu\rho}$ ist symmetrisch und

ω^{μ ρ}

$\omega^{\mu\rho}$ ist antisymmetrisch.

Okay, das scheint zu funktionieren, aber das ist der richtige Weg $\partial_\mu\phi$ transformiert (unter einer infinitesimalen Lorentz-Transformation) immer noch als $\partial_\mu\phi-{\omega^\sigma}_\rho{x}^\rho\partial_{\sigma\mu}\phi-{\omega^{\nu}}_\mu\partial_\nu\phi$ ?
Wird dies nicht halten, wenn $\mathcal{L}$ ist das kein Lorentz-Skalar? Lorentz-Invarianz bedeutet, dass die Wirkung ein Lorentz-Skalar ist, aber die Lagrange-Dichte $\mathcal{L}$ vielleicht nicht, oder?

Dargscisyhp · Answer 2

Cool! Ich arbeite an genau der gleichen Sache.

Die Art und Weise, wie ich das bewiesen habe, war da $\mathcal{L}$ Und $\phi$ Sind beide Lorentz-Skalare müssen sie das gleiche Transformationsgesetz haben. Deshalb

δ L = - ω_{v}^{μ} X^{v} \partial_{μ} L .

$\delta \mathcal{L} = - \omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}x^{\nu}\partial_{\mu}\mathcal{L}.$

Beachten Sie dies jedoch

\partial_{μ} (- ω_{v}^{μ} X^{v} L) = - ω_{v}^{μ} \partial_{μ} X^{v} L - ω_{v}^{μ} X^{v} \partial_{μ} L .

$\partial_{\mu} \left( -\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}x^{\nu} \mathcal{L} \right) = -\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu} \partial_\mu x^\nu\mathcal{L} - \omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}x^{\nu}\partial_{\mu}\mathcal{L}.$

Der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung ist 0:

- ω_{v}^{μ} \partial_{μ} X^{v} L = - ω_{v}^{μ} δ_{μ}^{v} L .

$-\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu} \partial_\mu x^\nu\mathcal{L} = -\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu} \delta_\mu^\nu \mathcal{L}.$

Der Ausdruck $\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu} \delta_\mu^\nu \mathcal{L}$ ist die Spur von $\omega$ , was eine antisymmetrische Matrix ist, die 0 ist. Daher

\partial_{μ} (- ω_{v}^{μ} X^{v} L) = - ω_{v}^{μ} X^{v} \partial_{μ} L = δ L .

$\partial_{\mu} \left( -\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}x^{\nu} \mathcal{L} \right) = -\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu}x^{\nu}\partial_{\mu}\mathcal{L}=\delta \mathcal{L}.$

Die Variation in der Lagrange-Dichte ist also gleich einer totalen Ableitung, wie wir beweisen wollten

F^{μ} = - ω_{v}^{μ} X^{v} L .

$F^\mu = -\omega^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu} x^{\nu} \mathcal{L}.$

\partial_{μ} F^{μ} = δ L .

$\partial_\mu F^\mu = \delta \mathcal{L}.$

Ich bin selbst ziemlich neu darin, besonders in dieser fiesen Indexmanipulation, also wenn Sie meine Logik durchgehen und finden, dass es klingt, lassen Sie es mich bitte wissen.

Danke und Prost!

Sicher, ich weiß, was das richtige Ergebnis ist, aber meine Frage bezieht sich auf den zusätzlichen Term, der beim direkten Rechnen entsteht $\delta{L}=\frac{\partial{L}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial{L}}{\partial{(\partial_\mu\phi)}}\delta(\partial_\mu\phi)$

Die Variation der Lagrange-Dichte unter einer infinitesimalen Lorentz-Transformation

Benutzer24999

Antworten (2)

hallo

Benutzer24999

hallo

Sam Jaques

Dargscisyhp

Benutzer24999

Konservierte Ströme für Lagrange, gegeben durch eine Spur

Zusätzlicher Term bei der Berechnung der Variation der Lagrange-Dichte unter der infinitesimalen Lorentz-Transformation

Kanonischer vs. Noether-Impuls für Longitudinalwellen auf einer 1D-Kette

Vom Satz von Noether zum kanonischen Energie-Impuls-Tensor unter Verwendung von Übersetzungen

Bewegungskonstanten einer Lagrange-Funktion

Satz von Noether mit unendlichen Parametern

Ableitung des Satzes von Noether für Körper

Konservierte Ströme aus dem Satz von Noether

Anwendung des Satzes von Noether

Noethers Theorem in der klassischen Feldtheorie-Verwirrung