Kanonischer vs. Noether-Impuls für Longitudinalwellen auf einer 1D-Kette

In Betracht ziehen$\phi:x\rightarrow R$, eine zeitabhängige Abbildung aus dem mit gekennzeichneten Ortsraum$x$oder$i$zu einer eindimensionalen realen Linie, die ich den "Zielraum" nenne. Da redest du von periodischen Randbedingungen$\phi$zeichnet beim Variieren eine Schleife im Zielbereich nach$x$(Es ist eine Schleife, die in eine Dimension eingebettet ist, sodass sie ihren Weg zurückverfolgt).

Diese Schleife ist im Zielraum lokalisiert. Sie können einen „Schwerpunkt“ an einer mittleren Position definieren$\phi_0$. Es gibt dann zwei Translationssymmetrien. Sie können die verschieben$\phi\rightarrow \phi+a$was die Position im Zielraum verschiebt. Der konjugierte Impuls$\Pi$ist der Impuls des Massenschwerpunkts im Zielraum, und wie Sie gesehen haben, können Sie einen Boost-Vorgang definieren$\Pi$.

Die andere Symmetrie ist die Übersetzung in die$x$oder$i$Platz. Wie in den Kommentaren darauf hingewiesen wurde, existiert diese Symmetrie auch im diskreten Modell und hat nichts mit der Kontinuumsgrenze zu tun. Der konjugierte Impuls$P$beschreibt den Energiefluss um die Schleife bei festem Massenschwerpunkt im Zielraum.

Es gibt eine weitere versteckte Erhaltungsgröße, wenn$\phi$wird auf einen kompakten Zielraum wie einen Kreis statt auf die reale Linie abgebildet (dh$\phi$ist eine Winkelkoordinate). Dann kann sich die Schleife vollständig um den Zielraum winden, bevor sie zu ihrem Ausgangspunkt und der Anzahl der Windungen zurückkehrt$m$wird mit der Zeit zusammen mit konserviert$\Pi$und$P$.

Wie Sie vielleicht erraten haben, hat dies einen Zusammenhang mit der Stringtheorie. Felder wie$\phi$beschreiben Koordinaten im Zielraum und die beiden Koordinaten$x$und$t$Diese Markierungspunkte entlang der Schnurschleife werden als Koordinaten des "Weltblatts" bezeichnet.

Zurück zu den Längsfedern

Mir kam der Gedanke, dass Sie vielleicht eine bodenständigere Erklärung in Bezug auf Längsfedern wünschen. Eine Besonderheit besteht hier in dem Sinne, dass die Zielraumposition$\phi$scheint im selben Raum wie die Position des internen Wortblatts zu existieren$x$. Beachten Sie jedoch, dass Sie periodische Randbedingungen verwenden, um zu sagen, dass es in x translationsinvariant ist. Es gibt tatsächlich eine Feder, die den rechten und den linken Endpunkt in unserem verbindet$x$Label so, dass diese beiden Endpunkte nahe beieinander liegen wollen und das gesamte System eine Schleife bildet, so wie ich es oben beschrieben habe. So$P$beschreibt immer noch einen inneren Energiefluss entlang der Federkette.

Und beachten Sie, dass Ihre Ableitung des Lagrangian immer noch in einem verstärkten Rahmen gültig ist, in dem sich alle Federn mit der gleichen Vorwärtsgeschwindigkeit bewegen$\Pi$beschreibt immer noch den Impuls des Massenschwerpunkts des gesamten Systems im Gegensatz zum internen Energiefluss um die Schleife.

Wenn Sie Ihren Overall verdichten$\phi$Position mit periodischen Randbedingungen, dann kann man auch von der erhaltenen Windungszahl sprechen$m$wie ich oben erwähnt habe. Beachten Sie jedoch, dass sich diese periodischen Randbedingungen von den periodischen Randbedingungen in unterscheiden$x$was auf das Hinzufügen einer zusätzlichen Feder zwischen den Endpunkten hinausläuft.

Tatsächlich gab es ein Äquivalent für die Translationssymmetrie$\phi(x)\rightarrow \phi(x+a)$im diskreten Fall, aber es war eine diskrete Symmetrie$\phi_i\rightarrow \phi_{i+n}$, die aus diesem Grund keinen Noetherstrom hatte.

Es gibt eine Mehrdeutigkeit in der Beschreibung in der Theorie: beides$x$und$\phi(x)$scheinen die Position entlang der Saite darzustellen. Dies ist der offensichtlichste Ursprung für die Mehrdeutigkeit in den beiden Symmetrien. Diese Mehrdeutigkeit ist im diskreten Fall nicht so gravierend, wird aber im stetigen Grenzwert problematisch, wie Sie festgestellt haben. Um diese Mehrdeutigkeit zu unterscheiden, gehe ich davon aus$\phi(x)$steht für Querverschiebung im Gegensatz zu Längsverschiebungen.

Die andere Symmetrie$\phi(x)\rightarrow \phi(x)+a$ist dann eigentlich keine Translationssymmetrie, sondern eine Gesamtkonstante, fast wie eine Eichsymmetrie, nur dass es sich um eine globale Symmetrie und nicht um eine lokale Symmetrie handelt. Im Zusammenhang mit der Schwingung einer Saite entspricht diese Transformation einer konstanten Querverschiebung der Saite im Gegensatz zu einer Längstranslation. (OK, vielleicht kann man es als Translationssymmetrie in Querrichtung interpretieren.) Es kommt zustande, weil die Felder masselos sind; es gibt keinen Massenbegriff. Würde man einen Massenterm hinzufügen, würde diese Symmetrie verschwinden. Ein solcher Massenterm würde Querverschiebungen bestrafen.

Kann ich mal versuchen was zu interpretieren$\Pi$bedeutet im Kontext des Modells, das Sie untersuchen (aber mit Querverschiebungen), würde ich sagen, dass es wie die Netto-Quergeschwindigkeit aussieht. Die konjugierte Variable$\pi=\dot{\phi}$scheint die Quergeschwindigkeit zu sein. Integriert über das Gesamtsystem wird dies dann zur Netto-Quergeschwindigkeit. Bei einer masselosen Saite wird diese Netto-Quergeschwindigkeit zu einer Erhaltungsgröße. Interessant. Sinnvoll, wenn man diese Transformation als Querübersetzung sieht.

Die Antwort von flippiefanus ist genau richtig. Ein Punkt, der in der Diskussion der Feldtheorie oft vernachlässigt wird, ist außerdem, dass es entscheidend ist, sorgfältig zwischen internen Transformationen/Symmetrien und räumlichen Transformationen/Symmetrien zu unterscheiden. Genau genommen ist ein Feld eine Abbildung von einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit M zu einem Feldraum F und den beiden Räumen$M$und$F$sind völlig unabhängig. Diese Unterscheidung ist entscheidend für das Verständnis des Coleman-Mandula-Theorems und seiner verschiedenen Schlupflöcher. Siehe hier für einen anderen Fall, in dem die Unterscheidung wichtig ist.

Für ein System von Federn, die sich in Längsrichtung bewegen, die Raumzeit-Mannigfaltigkeit$M$ist der diskrete Satz von Punkten, an denen die Enden der Federn liegen, wenn sie alle entspannt sind. Der Feldraum ist das kleine Intervall$[-d\varphi, d\varphi]$über denen sie um ihre Ruhelagen oszillieren. Solange die Schwingungsamplitude viel kleiner als die Federlänge ist, besteht keine Zweideutigkeit darüber, an welcher "Ruhestelle" jede Masse lebt. Aber wenn sie vergleichbar werden, wird die Koordinate$x$und den Feldwert$\varphi(x)$mehrdeutig miteinander in Beziehung stehen, sodass die Kontinuumsgrenze nicht genau definiert ist. Genau genommen müssen Sie die richtige Reihenfolge der Kontinuumsgrenzen beachten, wo$d\varphi \to 0$viel schneller als die Federlängen tun. Mit anderen Worten,$d \varphi \ll dx$, oder$d \varphi/dx$in den entsprechenden Einheiten "klein" ist. Dies ist die übliche Aussage, dass Kontinuumsfelder nur dann Sinn machen, wenn sie sehr langsam variieren.

TLDR: Im Allgemeinen können Sie die naive Kontinuumsgrenze für ein System gekoppelter längsschwingender Federn nicht nehmen, obwohl für querschwingende Federn alles in Ordnung ist. (Also für die Intuition ist es am besten, Querschwingungen immer zu visualisieren, damit diese Feinheit Sie nicht stolpert.) Um eine klar definierte Feldtheorie zu erhalten, müssen Sie die Grade "intern/Feld" und "räumlich" eindeutig unterscheiden Freiheit auf mikroskopischer Ebene.