Angenommen, in welcher Dimension und Theorie auch immer, die Aktion ist invariant für eine globale Symmetrie mit stetigem Parameter .
Der Trick, den Noetherstrom zu bekommen, besteht darin, die Variation lokal zu machen: Das Standardargument, das mich nicht überzeugt und für das ich eine formellere Erklärung hätte, ist, dass, da die globale Symmetrie in Kraft ist, der einzige Term ist die in der Variation erscheinen, werden proportional zu Ableitungen von sein und damit der beteiligte Strom werden auf der Schale konserviert:
Dies ist z. B. in Superstring Theory: Volume 1 von Green Schwarz Witten auf Seite 69 und The Quantum Theory of Fields, Volume 1 von Weinberg auf Seite 307 angegeben.
Mit anderen Worten, warum ein Begriff
Ausgehend von der Antwort unten glaube ich, dass es zwei nette Referenzen gibt
I) Gegeben sei ein lokales Aktionsfunktional
mit der Lagrange-Dichte
[Wir überlassen es dem Leser, auf höher abgeleitete Theorien auszudehnen. Siehe auch z. B. Ref.-Nr. 1.]
II) Wir wollen eine infinitesimale Variation untersuchen
von Raumzeitkoordinaten und Felder , mit willkürlich -abhängiges Infinitesimal , und mit einigen gegebenen festen erzeugenden Funktionen
Dann die entsprechende infinitesimale Variation der Aktion nimmt die Gestalt an
für einige Strukturfunktionen
und
[Man kann zeigen, dass einige Begriffe in der Strukturfunktion (6) sind proportional zu eoms, die typischerweise von zweiter Ordnung sind, und daher die Strukturfunktion (6) kann von Raumzeitableitungen zweiter Ordnung abhängen.]
III) Als nächstes nehmen wir an, dass die Aktion hat eine Quasisymmetrie zum -unabhängig unendlich klein . Dann Gl. (5) reduziert sich auf
IV) Lassen Sie uns nun auf die Frage von OP zurückkommen. Da Gl. (8) für alle Off-Shell-Feldkonfigurationen gilt, können wir zeigen, dass Gl. (8) ist nur möglich, wenn
ist eine totale Divergenz. (Hier beziehen sich die Wörter on-shell und off-shell darauf, ob die eoms erfüllt sind oder nicht.) Genauer gesagt gibt es zwei Möglichkeiten:
Wenn wir wissen, dass Gl. (8) gilt für jeden Integrationsbereich , können wir Gl. (9) nach Lokalisierung.
Wenn wir nur wissen, dass Gl. (8) gilt für einen einzelnen festen Integrationsbereich , dann ist der Grund für Gl. (9) ist, dass die Euler-Lagrange-Ableitungen der Funktion muss identisch Null sein. Deswegen selbst muss eine totale Divergenz sein, aufgrund eines algebraischen Poincare-Lemmas des sogenannten Bivariationskomplexes, siehe z. 2. [Man beachte, dass es im Prinzip topologische Hindernisse im Feldkonfigurationsraum geben könnte, die diesen Beweis von Gl. (9).] Siehe auch diese verwandte Phys.SE-Antwort von mir.
V) Man kann zeigen, dass die Strukturfunktionen (7) sind genau die nackten Noetherströme. Als nächstes definieren Sie die vollständigen Noether-Ströme
Auf der Schale, nach partieller Integration, Gl. (5) wird
für Willkür -abhängiges Infinitesimal . Gleichung (11) ist genau die gesuchte Gleichung von OP. (*).
VI) Gleichung (11) impliziert (über das fundamentale Lemma der Variationsrechnung ) das Erhaltungsgesetz
in Übereinstimmung mit dem Satz von Noether.
Verweise:
PK Townsend, Noether-Theoreme und höhere Ableitungen, arXiv:1605.07128 .
G. Barnich, F. Brandt und M. Henneaux, Lokale BRST-Kohomologie in Eichtheorien, Phys. Rep. 338 (2000) 439, arXiv:hep-th/0002245 .
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Seit der -Abhängigkeit von nur ein von uns auferlegter künstlicher Trick sein soll, können wir davon ausgehen, dass es keine Ableitungen von gibt im Transformationsgesetz (3), da solche Terme ohnehin verschwinden würden, wenn ist -unabhängig.
Notation: Die Symbol bedeutet Gleichheits-Modulo-Randausdrücke. Das symbol bedeutet gleichheit modulo eqs. der Bewegung.
Eine Quasisymmetrie einer lokalen Aktion bedeutet, dass die infinitesimale Änderung ist ein Randterm unter der Quasisymmetrietransformation.
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Arturo DonJuan