Subtilität in der Ableitung des Satzes von Noether von Di Francesco

Question

Subtilität in der Ableitung des Satzes von Noether von Di Francesco

Physik
Noethers-Theorem
lagrangianischer Formalismus
mathematisch-physik
Variationsrechnung

CAF

In dem Buch „Conformal Field Theory“ von Di Francesco et al. wird eine Ableitung von Noethers Theorem demonstriert, indem der meiner Meinung nach elegantere Ansatz, der Parameter, auferlegt wird $\omega$ ist explizit $x$ -abhängig, so dass $\omega = \omega(x)$ für eine lokale Transformation und schließlich am Ende die Betrachtung einer globalen Transformation, die folglich auf den Satz von Noether hinausläuft. Die Herleitung befindet sich auf den Seiten 39-41.

Ich verstehe die gesamte Ableitung, wurde jedoch darauf aufmerksam gemacht, dass die gesamte Ableitung auf einem inkonsistenten Ausgangspunkt zu beruhen scheint, was den Rest des Arguments, obwohl mathematisch korrekt, völlig nutzlos machen würde.

Auf S.39 schreibt Di Francesco, dass die generischen infinitesimalen Transformationen der Koordinaten bzw. des Feldes

X^{' μ} = X^{μ} + ω_{A} \frac{δ X^{μ}}{δ ω_{A}}

$x'^{\mu} = x^{\mu} + \omega_a \frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_a}$

Φ^{'} (X^{'}) = Φ (X) + ω_{A} \frac{δ F}{δ ω_{A}} (X) .

$\Phi'(x') = \Phi(x) + \omega_a \frac{\delta F}{\delta \omega_a}(x).$ Dies wird unter der Annahme geschrieben, dass die

ω_{a}

$\omega_a$ sind infinitesimale Parameter, keine Funktionen von

x

$x$ . Wenn er also dieses Ergebnis in seiner Herleitung auf S.40 verwendet und sagt, dass er die Vermutung anstellen wird, dass die

ω_{a}

$\omega_a$ abhängig sind

x

$x$ , wie kann er das tun?

Für den Fall, dass ich etwas übersehen habe, habe ich zur Verdeutlichung diese Diskussion hier geführt: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=760137 und in Post 14 kommt die Subtilität zum Vorschein. Also wirklich ein Mangel? Ich suche einfach wirklich nach einer anderen Meinung dazu. Ich habe einen der Professoren an meiner Universität gefragt und er sagte, das sei vorgesehen $x$ Abhängigkeit 'gering' ist, dann ist es gültig, aber ich bin mir nicht ganz sicher, was das genau bedeutet.

Antworten (1)

Subtilität in der Ableitung des Satzes von Noether von Di Francesco

QMechaniker · Answer 1

QMechaniker

I) Die Frage von OP (v2) scheint im Wesentlichen eine Frage der mathematischen Präzision im Vergleich zur Art und Weise zu sein, wie sich Physiker prägnant ausdrücken, wenn sie von „ Infinitesimalen “ sprechen, ohne zu technisch zu werden, indem sie Epsilons und Deltas und was nicht einführen . Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Vielleicht der einfachste und elementarste Weg, um die "Infinitesimalfunktion" zu verstehen $\omega(x)$ in Di Francesco et. al., CFT, ist es als Produkt zu betrachten $^1$

ω (X) = δ F (X),

$\omega(x)~=~\delta~f(x),$

Wo $f(x)$ ist eine beschränkte Funktion $^2$ , z.B $|f(x)|\leq 1$ ; Und $\delta$ ist eine "unendlich kleine Konstante". Eine „unendlich kleine Konstante“ ist nur Physik-Jargon für eine kleine Zahl $\delta>0$ so klein, dass wir Beiträge höherer Ordnung vernachlässigen können $\delta$ in der Kalkulation bis ins Detail $\epsilon>0$ dass wir arbeiten.

II) Zur Ableitung des Satzes von Noether durch den Trick von an $x$ -abhängig $\omega(x)$ , siehe diesen Phys.SE-Beitrag.

--

$^1$ Wir haben den Index gelöscht $a$ In $\omega_a(x)$ der Einfachheit halber.

$^2$ Technisch mag es zweckmäßig sein, die Funktion weiter anzunehmen $f(x)$ ist mit beschränkter Ableitung differenzierbar, vielleicht sogar mit kompaktem Träger . Die Funktion $f(x)$ hat eine Rolle, die einer Testfunktion nicht unähnlich ist .

CAF

Hallo QMechaniker. Nur zur Verdeutlichung, die Ableitung von Di Francesco scheint Ihnen in Ordnung zu sein? Im Grunde schreibt er

ω

$\omega$ als Funktion von

x

$x$ durchgehend, aber das

x

$x$ Abhängigkeit ausgedrückt durch Ihre Funktion

f (x)

$f(x)$ wird durch die Konstante unterdrückt

δ

$\delta$ was erlaubt

ω

$\omega$ immer als infinitesimale Funktion von anzusehen

x

$x$ ?

QMechaniker

Wie immer, wenn Physiker Mathematik schreiben, ist es Sache des Lesers, das i zu punktieren und das t anzukreuzen. Mit anderen Worten, wenn Sie ein Gegenbeispiel zu einem der Argumente von Di Francesco et al finden, wird es wahrscheinlich durch eine implizit implizite Annahme ausgeschlossen, wie z.

CAF

OK danke. Die Art und Weise, wie Di Francesco ursprünglich die infinitesimalen Transformationen (wie im OP geschrieben) geschrieben hat, ist also für eine Konstante

ω

$\omega$ . Diese Gleichungen gelten auch für eine lokale Transformation,

ω = ω (x)

$\omega = \omega(x)$ bereitgestellt

ω (x)

$\omega(x)$ hat die Form, die Sie geschrieben haben,

ω (x) = δ f (x)

$\omega(x) = \delta~ f(x)$ . Wäre das richtig?

QMechaniker

Bis zu Beiträgen höherer Ordnung und modulo über Vorbehalte: Ja.

CAF

Ich habe eine letzte Frage zu der Aussage, dass eine Symmetrietransformation aufgrund des Satzes von Noether eine Erhaltungsgröße induziert. Wenn wir von einer „Symmetrietransformation“ sprechen, verstehe ich, dass dies eine bedeutet, bei der das Aktionsfunktional invariant bleibt, aber wird diese Invarianz durch eine triviale Transformation des Feldes verursacht? ZB entsprechen Lorentz-Symmetrietransformationen nur denen, bei denen das Feld ein Lorentz-Skalar ist (das heißt, es gehört zum trivialen Repräsentanten der Lorentz-Gruppe)?

QMechaniker

Bemerkungen: 1. Eine (Quasi-)Symmetrietransformation erhält die Wirkung

S

$S$ (bis zu den Randbedingungen). 2. Bei der Diskussion einer Symmetrie der Aktion

S

$S$ unter einer Gruppe

G

$G$ , die Variablen/Felder selbst transformieren sich nicht in (möglicherweise mehrere Kopien) des trivialen irrep

G

$G$ . Wenn sie es täten, wäre das entsprechende Erhaltungsgesetz eine Trivialität a la

0 = 0

$0=0$ . (Beachten Sie, dass horizontale Transformationen

δ x = \dots

$\delta x=\ldots$ kann zu einer anderen Terminologie eines Repräsentanten führen: Was aus einem Blickwinkel (pov) als trivialer Repräsentant erscheint, kann aus einem anderen Blickwinkel nicht trivial sein.)

CAF

Gegeben

S = \int_{D} D^{D} X L (ϕ, \partial ϕ)

$S = \int_{\mathcal D}\,\text{d}^d x \mathcal L(\phi, \partial \phi)$ wir haben das

S^{'} = \int_{D} D^{D} X | \frac{\partial X^{'}}{\partial X} | L (F (ϕ (X)), \partial_{μ}^{'} F (ϕ (X))),

$S' = \int_{\mathcal D}\,\text{d}^d x \left|\frac{\partial x'}{\partial x}\right| \mathcal L(F(\phi(x)), \partial_{\mu}' F(\phi(x))),$ Das würde mir also nahelegen, a) den Jacobi-Faktor bereitzustellen

| \partial x^{'} / \partial x |

$|\partial x'/\partial x|$ ist Einheit, b)

F (ϕ (x)) = ϕ (x)

$F(\phi(x)) = \phi(x)$ , C)

\partial_{μ}^{'} F (ϕ (x)) = \partial_{μ} ϕ

$\partial_{\mu}' F(\phi(x)) = \partial_{\mu}\phi$ dann wird die Transformation als Symmetrie angesehen. Wäre das richtig?

CAF

Ich nehme an, diese Bedingungen a) - c) würden immer gelten

S^{'} = S

$S'=S$ , je nach Form und Struktur des Lagrange können jedoch auch andere Symmetrien auftreten. Um zu veranschaulichen, was ich meine, unter der Transformation

ϕ^{'} (x) = e^{i θ} ϕ (x)

$\phi'(x) = e^{i\theta}\phi(x)$ Wir haben hier eine invariante Wirkung für einen Lagrangian, unten auf der ersten Seite, itp.phys.ethz.ch/research/qftstrings/archive/12HSQFT1/…

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