Die Ableitung von Bruchgleichungen

Kürzlich sah ich einige physikalische Probleme, die durch Gleichungen mit gebrochenen Ableitungen modelliert werden können, und ich hatte einige Zweifel: Ist es möglich, eine Aktion zu schreiben, die zu einer Gleichung mit gebrochenen Ableitungen führt? Betrachten Sie zum Beispiel ein hypothetisches physikalisches System mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung. Gibt es eine "Wellengleichung" mit der Zeitableitung 3 / 2 ? Ist eine solche Frage sinnvoll?

Aus Neugier, welche Art von körperlichen Problemen funktionieren auf diese Weise?
@Spencer Ich habe das erste Mal in anomaler Diffusion gesehen. Sie können zum Beispiel hier sehen: pfi.uem.br/mfi/disserta_teses/teses_pdf/… (auf Portugiesisch). Dies ist eine Untersuchung eines Systems, das von einer nicht-Markovschen Fokker-Planck-Gleichung bestimmt wird, die mit dem Kammmodell verwandt ist.
Geschwindigkeitsproportionale Kräfte, wie zum Beispiel Reibung, können beschrieben werden, indem gebrochene Ableitungen in die Lagrange-Funktion eingesetzt werden.
Hier ist der Wälzer, an dem unsere Gruppe viel gearbeitet hat: Metzler, R. (2000). Der Leitfaden des Random Walk zur anomalen Diffusion: ein fraktionaler Dynamikansatz. Physics Reports, 339(1), 1–77. doi:10.1016/S0370-1573(00)00070-3 . Es ist eine tolle Einführung in das Thema. Es sollte ein arxiv-Preprint verfügbar sein, aber ich habe die Nummer nicht zur Hand.

Antworten (2)

Gebrochene Ableitungen sind nichtlokal, aber Aktionen werden normalerweise als lokal angenommen.

Die Lokalität oder Nichtlokalität einer Lagrange-Dichte hängt von der höchsten Ordnung der Ableitungen in ihren verschiedenen Begriffen ab. Terme mit Ableitung bis zur zweiten Ordnung (zB kinetische Terme) sind lokal. Terme mit Ableitungen der Ordnung 3 und höher sind nichtlokal, wobei der Grad der Nichtlokalität durch die Ordnung gemessen wird. Ein nicht-lokaler Term in einer Aktion bedeutet also nicht, dass das Variationsproblem schlecht definiert ist. Warum sind gebrochene Ableitungen nicht lokal? Noch besser, was ist eine gebrochene Ableitung? Vielen Dank.
Lieber @space_cadet, nein, was du schreibst ist nicht korrekt. QGR hat Recht, dass die Wirkung nichtlokal ist, wenn gebrochene Ableitungen auftreten. Es reicht aus, dass einige Begriffe erscheinen, ob sie führen oder nicht, und die Aktion muss nichtlokal sein. Am Ende Ihrer Antwort geben Sie zu, dass Sie nicht wirklich wissen, warum sie nicht lokal sind. Nun, es liegt daran, dass Sie schreiben können ∂ t k wie E k in der Fourier-transformierten Energiedarstellung und der Transformation des Operators E k zurück zum t Basis ist nichtlokal.
@space_cadet schlampiger Physiker denkt hier, aber ich denke, es kann präzisiert werden: Stellen Sie sich vor, Sie nehmen eine Taylor-Reihe der gebrochenen Ableitung - sie müsste in unendliche Ordnung gehen und wäre daher höchst nicht lokal.
@space_cadet, eine Bruchableitung ist ein einfaches Beispiel für einen "Pseudo-Differentialoperator". Es ist ein Operator, der zum Beispiel mit der Fourier-Transformation leicht definiert werden kann (wie Lubos Motl sagte). Sie können einen Operator definieren, der in der Fourier-Transformation äquivalent ist Sünde ⁡ k ... Die Bruchableitung ist einfacher, in der Fourier-Transformation ist eine Multiplikation für Ihre Transformationsvariable k mit gebrochenem Exponenten ;-)
@Boy, @genneth - danke. @Lubos, alles, was ich gesagt habe, ist, dass AFAIK, nicht lokale Begriffe zu haben, ziemlich häufig ist, z. Höher abgeleitete Theorien der Gravitation. Nicht-lokal zu sein sollte also kein Hindernis für eine Aktion mit gebrochenen Ableitungen sein, wie @QGR vorzuschlagen scheint.

Wenn ich gebrochene Ableitungen gesehen habe, bin ich davon ausgegangen, dass ein Ort, an dem sie natürlicherweise auftreten, in physikalischen Situationen ist, in denen eine gebrochene Abhängigkeit von der Zeit besteht.

Zum Beispiel führen zufällige Spaziergänge typischerweise zu einer Bewegung, die proportional zu ist t . Wenn Sie auf arxiv.org nach "fractional+derivative+random+walk" googeln, finden Sie einige Artikel, die dies untersuchen:

http://www.google.com/search?q=fractional+derivative+random+walk+site%3Aarxiv.org

Ich frage mich also, ob es eine Möglichkeit gibt, einige der Diffusionsversionen von QM mit fraktionalen Ableitungen in Beziehung zu setzen.

Genau dies wird hier tatsächlich getan .
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