Die Euler-Poincare-Gleichung

Kann mir jemand ganz grundsätzlich sagen, wie die Euler-Poincare-Gleichung die Euler-Lagrange-Gleichung verallgemeinert ? Weiß jemand weiter, ob es eine "einfache" Beziehung zwischen den beiden gibt, dh kann jemand eine der beiden Gleichungen aus der anderen ableiten? Schließlich wäre ich sehr dankbar, wenn jemand eine gute BASIC-Informationsquelle auf einer Einführungsebene in das Thema hätte.

Antworten (1)

  1. Das stationäre Aktionsprinzip und die Euler-Lagrange (EL)-Gleichungen sind sehr breite und allgemeine Konstruktionen. Die Feldvariablen im Variationsprinzip könnten im Prinzip auf eine generische Mannigfaltigkeit abgebildet werden M .

  2. Andererseits treten Euler-Poincare (EP)-Gleichungen in der speziellen Situation auf, in der die Mannigfaltigkeit eine Lie-Gruppe ist M = G , und die Aktion ist links- G - unveränderlich. Als nächstes verwendet man die Exponentialkarte , um die Variablen Lie-Algebra-bewertet zu machen (anstatt Lie-Gruppen-bewertet). Die EP-Gleichungen lauten

    ( D D T + A D ξ ∗ ) δ ℓ δ ξ   =   0 ,
    wo die Variablen ξ sind Lie-Algebra-bewertet. Die Lie-Algebra-bewerteten EP-Gleichungen sind äquivalent zu den Lie-gruppenbewerteten EL-Gleichungen für dasselbe Problem. Siehe Ref. 1 für weitere Details.

  3. Die Euler(E)-Gleichungen für einen starren Körper sind ein Sonderfall der EP-Gleichungen.

Verweise:

  1. JE Marsden und TS Ratiu, Intro to Mechanics and Symmetry, 2. Auflage, 1998; Abschnitt 13.5.
Die Euler-Poincare-Gleichung
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