Warum brauchen wir diese Karte in der Definition einer Spinstruktur, um Spinorfelder einzuführen?

Lassen Sie mich mit dem beginnen, was ich derzeit verstehe. Sei ${\rm SO}(1,3)$sei die eigentliche orthochrone Lorentzgruppe. Seine universelle Abdeckung ist ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$. Die Darstellungen seiner universellen Abdeckung werden durch Paare von ganzen oder halben Zahlen $(A,B)$welches Label ${\frak su}_\mathbb{C}(2)$Darstellungen. Die Darstellungen mit $A+B$ganzzahliger Abstieg zu wahren Darstellungen von ${\rm SO}(1,3)$aber die mit $A+B$Halbzahl nicht und dies sind Spinor-Darstellungen.

Insbesondere haben wir zum Beispiel $(\frac{1}{2},0)$und $(0,\frac{1}{2})$Weyl-Spinoren. Die Spinoren selbst sind Elemente von $\mathbb{C}^2$und gegeben $\Lambda \in {\rm SL}(2,\mathbb{C})$wir wissen, wie es auf sie wirkt durch die Darstellungen $D^{(\frac{1}{2},0)}(\Lambda)$und $D^{(0,\frac{1}{2})}(\Lambda)$.

Angesichts dieses Aufbaus möchten wir nun über Spinorfelder in einer allgemeinen Raumzeit $(M,g)$. Da Spinoren als Elemente eines Repräsentationsraums der universellen Hülle von ${\rm SO}(1,3)$Es überrascht nicht, dass die zugehörigen Felder als Abschnitte eines zugehörigen Bündels zu einem Prinzipal ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$-bündeln. Was jedoch passiert ist, dass oft gesagt wird, dass man eine Spinstruktur braucht, die wie folgt definiert werden kann:

Definition : Seien $(M,g)$sei eine semi-riemannsche Mannigfaltigkeit der Signatur $(t,s)$und sei $F(M)$sei der zugehörige Prinzipal ${\rm SO}(t,s)$-Bündel orthonormaler Rahmen. Eine Spinstruktur auf $(M,g)$ist ein Prinzipal ${\rm Spin}(t,s)$-Bündel $\pi_S:S(M)\to M$zusammen mit einer Hauptbündelabbildung $\Phi : S(M)\to F(M)$so dass

$$\Phi(s\cdot \Lambda)=\Phi(s)\cdot \rho(\Lambda),$$ wobei $\rho: {\rm Spin}(t,s)\to {\rm SO}(t,s)$ist die Deckkarte.

Was ich nicht verstehe, ist, wie diese Struktur in der Praxis verwendet wird. Wozu brauchen wir diese Abbildung $\Phi : S(M)\to F(M)$? Warum müssen wir die beiden Bündel miteinander verbinden, um über Spinorfelder sprechen zu können?

Denn wenn wir nur einen ${\rm Spin}(t,s)$-Bundle - oder in Signatur $(1,3)$ein ${\rm SL}(2,\mathbb{C})$-Bündel - es scheint, dass wir bereits die Spinor-Darstellungen wie die Weyl-Darstellungen nehmen und die zugehörige Bündelkonstruktion durchführen können, um Spinor-Felder zu bauen. Warum abgesehen davon, dass durch diese Karte Φ eine Verbindung zum Rahmenbündel hergestellt wird$\Phi$ist notwendig?