Eine Frage zum Transformationsgesetz der Spinverbindung

Die kovariante Ableitung kann definiert werden als:

$$\nabla_{a}=e_{a}^{~\mu}(x)\partial_{\mu}+\frac{1}{2}e_{a}^{~\mu}(x)\omega_{\mu bc}(x)M^{bc}\tag{1}$$

Wo$e_{a}^{~\mu}(x)$ist das Vielbein,$\omega_{\mu bc}(x)=-\omega_{\mu cb}(x)$ist die Spinverbindung,$M_{bc}=-M_{cb}$sind die Lorentz-Generatoren (in willkürlicher Darstellung), lateinische Indizes sind Lorentz-(flache)-Indizes und griechische Indizes sind Welt-(gekrümmte)-Indizes.

Damit sich die kovariante Ableitung von Lorentz-Tensorfeldern kovariant transformiert, müssen wir die Spinverbindung inhomogen (und daher nicht kovariant) transformieren. Aus Gründen der Konkretheit werde ich die kovariante Ableitung (der Komponenten von) einer Lorentz-Einsform betrachten,$V_a(x)$. Wenn wir unter einer allgemeinen Koordinatentransformation (GCT) und einer lokalen Lorentz-Transformation (LLT) wollen, dass Folgendes gilt,

$$\nabla'_aV'_{b}(x')=\Lambda_{a}^{~c}\Lambda_{b}^{~d}\nabla_cV_{d}(x),\tag{2}$$ dh wenn sie sich kovariant transformieren soll, dann verlangen wir, dass sich die Spinverbindung als transformiert $$\omega'_{\mu ab}(x')=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\mu}}\Lambda_{a}^{~c}\Lambda_{b}^{~d}\omega_{\nu cd}(x)+\Lambda^{c}_{~~a}\partial'_\mu\Lambda_{bc}.\tag{3}$$ Ich habe gerade den Ursprung des inhomogenen Begriffs in (3) hergeleitet, musste mich aber auf zwei Dinge stützen, die ich nicht begründen kann.

Zuerst musste ich davon ausgehen, dass die Lorentz-Generatoren unter einem LLT invariant sind, dh ich habe das angenommen

$$M'_{ab}=\Lambda_a^{~c}\Lambda_{b}^{~d}M_{cd}=M_{ab}.$$ Ich bin nicht allzu überrascht von dieser Tatsache, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich sie rechtfertigen soll?

Zweitens habe ich auch angenommen, dass der inhomogene Term in (3) antisymmetrisch ist$a$Und$b$. Das muss so sein, sonst würde die Spinverbindung bei einer Transformation ihre Antisymmetrie nicht behalten. Aber ich möchte auch beweisen, dass es der Fall ist, also habe ich Folgendes versucht:

$$\begin{align} \Lambda^{c}_{~~a}\partial'_\mu\Lambda_{bc}&=\partial'_{\mu}\big(\Lambda^{c}_{~~a}\Lambda_{bc}\big)-\Lambda_{bc}\partial'_{\mu}\Lambda^{c}_{~~a}\\ &=\partial'_{\mu}\big(\eta_{ab})-\Lambda_{bc}\partial'_{\mu}\Lambda^{c}_{~~a}\\ &=-\Lambda_{bc}\partial'_{\mu}\Lambda^{c}_{~~a}\\ &=-\Lambda_{b}^{~c}\partial'_{\mu}\Lambda_{ca}. \end{align}$$ Das ist fast alles, aber nicht ganz, da ich das zeigen muss $\Lambda^{c}_{~~a}\partial'_\mu\Lambda_{bc}=-\Lambda^{c}_{~~b}\partial'_\mu\Lambda_{ac}$. Wie kann ich vorgehen?

PS: Ich verwende die Meistens-Plus-Konvention für meine Minkovski-Metrik.