Wie ist die invariante Lichtgeschwindigkeit in SL(2,C)SL(2,C)SL(2, \mathbb C) kodiert?

In der spinorialen Darstellung einer Lorentz-Transformation stellen wir ein Ereignis in der Raumzeit als Element des 4D-Vektorraums von Hermitesch dar$2\times2$Matrizen:

$$X = t\,\mathrm{id} + x\,\sigma_x+y\,\sigma_y+z\,\sigma_z\tag{1}$$

bei dem die$\sigma_j$sind wie immer die Pauli-Matrizen und$(t,\,x,\,y,\,z)$die vier Raumzeitkoordinaten.

Ein Mitglied$\zeta\in SL(2,\,\mathbb{C})$des Doppeldeckels von$SO(1,\,3)$wirkt auf ein solches Ereignis durch die sogenannte Spinor-Karte:

$$X\mapsto \zeta^\dagger\,X\,\zeta\tag{2}$$

also versuchen wir jetzt, die Zeilenintervallinvarianz in (2) zu codieren; in Bezug auf das Raumzeit-Ereignis$X$.

Übung : Prüfen Sie, ob die Minkowskische Länge von$X$ist, in der Tat codiert als$\det X$.

Somit ergibt sich aus (2) die Invarianz der Raumzeitintervalllänge unter der Wirkung von$\zeta$Ist

$$\det(\zeta^\dagger\,X\,\zeta) = |\det\zeta|^2 \det X = \det X\tag{3}$$

und die Erfüllung von (3) für alle Hermitianer$X$ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für$\zeta$das Raumzeitintervall invariant zu lassen. Insbesondere die Unimodularität von$\zeta$ist ausreichend (aber nicht notwendig) für diese Konservierung.

Dies beantwortet Ihre Frage, aber beachten Sie, dass der gesamte Satz von Matrizen, die das Intervall erhalten, genau ist$U(1)\times SL(2\,\mathbb{C})$, dh die Menge der Matrizen der Form$e^{i\,\phi}\,\zeta;\,\phi\in\mathbb{R}$, Wo$\zeta$ist unimodular. Beachten Sie jedoch, dass der Phasenfaktor für die Spinor-Map (2) keinen Unterschied macht; daher die Gruppe der raumzeitintervallerhaltenden Matrizen$U(1)\times SL(2\,\mathbb{C})$zerfällt in Äquivalenzklassen von Spinorkarten mit genau einem Mitglied$PSL(2,\,\mathbb{C})\cong SO^+(1,\,3)$für jede Spinorkarte. Die doppelte Abdeckung$SL(2,\,\mathbb{C})$umfasst zwei Mitglieder für jede unterschiedliche Spinorkarte, dh Paare der Form$\pm\zeta$.