Wie lässt sich die Weyl-Spinor-Transformation als Repräsentation der Lorentz-Gruppe beweisen?

In meinen QFT-Vorlesungsunterlagen steht geschrieben, dass die Elemente der Lorentz-Gruppe geschrieben werden können als

Λ = e ich θ → ⋅ J → + ich η → ⋅ K →

Wo { J → , K → } sind die Generatoren der Lorentz-Algebra.

Danach schreiben sie, dass Weyl-Spinoren sich unter einer Darstellung der Lorentz-Gruppe als transformieren

ϕ ' = e ich σ → 2 ⋅ ( θ → − ich η → ) ϕ

Hier als { σ → 2 , − ich σ → 2 } tatsächlich die Kommutierungsbeziehungen der Lorentz-Algebra erfüllt, ist es tatsächlich eine Darstellung der Lorentz-Algebra { J → , K → } . Allerdings führen nicht alle Darstellungen von Lie-Algebren zu einer Darstellung der Lie-Gruppe durch Potenzierung. Wie können wir also im Fall des Weyl-Spinors zeigen, dass die Transformationsregel tatsächlich eine Darstellung der Lorentz-Gruppe ist?

Elementare Weyl-Spinoren transformieren sich entweder in die (1/2,0)- oder (0,1/2)-projektive Darstellung der eingeschränkten Lorentz-Gruppe oder in die wahre (1/2,0)- oder (0,1/2)-Darstellung von SL ( 2 , C ) .

Antworten (1)

TL;DR: Um nicht-projektive Gruppendarstellungen von Spinoren zu diskutieren, müssen wir zur universellen Bedeckungsgruppe gehen .

Im Detail:

  1. Definieren Sie zunächst einen (linken) Weyl-Spinor ϕ in die definierende Gruppendarstellung umzuwandeln S L ( 2 , C ) , das ist die doppelte Abdeckung der eingeschränkten Lorentz-Gruppe S Ö + ( 1 , 3 ; R ) .

  2. Erst danach sollten wir die entsprechende Lie-Algebra identifizieren S l ( 2 , C ) ≅ S Ö ( 1 , 3 ; R ) , die Lie-Algebra-Darstellung und ihre 6 Generatoren für Boosts und Rotationen.

Wie lässt sich die Weyl-Spinor-Transformation als Repräsentation der Lorentz-Gruppe beweisen?
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