Idee der Deckungsgruppe

Tolle, wichtige Frage. Hier ist die grundlegende Logik:

1. Wir beginnen mit dem Satz von Wigner, der uns sagt, dass eine Symmetrietransformation auf einem Quantensystem bis zur Phase entweder als unitärer oder anti-unitärer Operator auf dem Hilbert-Raum geschrieben werden kann$\mathcal H$vom System.

2. Daraus folgt, wenn wir eine Lie-Gruppe repräsentieren wollen$G$von Symmetrien eines Systems durch Transformationen auf dem Hilbertraum, dann müssen wir dies mit einer projektiven einheitlichen Darstellung der Lie-Gruppe tun$G$. Der projektive Anteil kommt daher, dass die Transformationen „bis zur Phase“ unitär oder anti-unitär sind, wir stellen nämlich solche Symmetrien mit einer Abbildung dar$U:G\to \mathscr U(\mathcal H)$so dass für jeden$g_1,g_2\in G$, gibt es eine Phase$c(g_1, g_2)$so dass

   $$\begin{align} U(g_1g_2) = c(g_1, g_2) U(g_1) U(g_2) \end{align}$$ wo$\mathscr U(\mathcal H)$ist die Gruppe der unitären Operatoren auf$\mathcal H$. Mit anderen Worten, eine projektive einheitliche Darstellung ist nur eine gewöhnliche einheitliche Darstellung mit einem zusätzlichen Phasenfaktor, der verhindert, dass es sich um einen ehrlichen Homomorphismus handelt.

3. Das Arbeiten mit projektiven Darstellungen ist nicht so einfach wie das Arbeiten mit gewöhnlichen Darstellungen, da sie den lästigen Phasenfaktor haben$c$, also suchen wir nach Möglichkeiten, sie zu vermeiden. In einigen Fällen kann dies erreicht werden, indem man feststellt, dass die projektiven Darstellungen einer Gruppe$G$sind äquivalent zu den gewöhnlichen Darstellungen von$G'$seine universelle Bedeckungsgruppe , und in diesem Fall entscheiden wir uns daher dafür, stattdessen die Darstellungen der universellen Bedeckung zu untersuchen.

4. Im Falle des$\mathrm{SO}(3)$, die Gruppe der Drehungen, bemerken wir, dass ihre universelle Abdeckung, die oft genannt wird$\mathrm{Spin}(3)$, ist isomorph zu$\mathrm{SU}(2)$, und dass die projektiven Darstellungen von$\mathrm{SO}(3)$entsprechen den gewöhnlichen Darstellungen von$\mathrm{SU}(2)$, also entscheiden wir uns dafür, die gewöhnlichen Darstellungen von zu untersuchen$\mathrm{SU}(2)$da es bequemer ist.

Das ist alles körperlich sehr wichtig. Wenn wir nur die gewöhnlichen Darstellungen von betrachtet hätten$\mathrm{SO}(3)$, dann hätten wir die „halbzahligen Spin“-Darstellungen verpasst, nämlich solche, die bei der Betrachtung von Drehungen auf fermionischen Systemen entstehen. Wir müssen also vorsichtig sein, projektive Darstellungen zu berücksichtigen, und dies führt natürlich dazu, nach der universellen Deckung zu suchen.

Anmerkung : Ähnliches passiert mit der Lorentz-Gruppe in relativistischen Quantentheorien. Wir betrachten projektive Darstellungen von$\mathrm{SO}(3,1)$weil Wigner sagt, wir sollten es tun, und das führt uns natürlich dazu, über seine universelle Abdeckung nachzudenken$\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$.

Nach den Antworten von joshphysics und user37496 scheint mir noch eine letzte Bemerkung übrig zu bleiben.

Die Quantenrelevanz der universellen überdeckenden Lie-Gruppe liegt meiner Meinung nach (auch) an einem fundamentalen Theorem von Nelson. Dieser Satz setzt Lie-Algebren symmetrischer Operatoren mit einheitlichen Darstellungen einer bestimmten Lie-Gruppe in Beziehung, die von diesen Operatoren erzeugt werden. Die beteiligte Lie-Gruppe ist in dieser Diskussion immer eine universelle Hülle.

In Quantentheorien trifft man oft auf eine Reihe von Operatoren$\{A_i\}_{i=1,\ldots, N}$auf einem gemeinsamen Hilbertraum${\cal H}$so dass:

(1) Sie sind symmetrisch (dh auf einem dichten Gebiet definiert).$D(A_i)\subset {\cal H}$wo$\langle A\psi|\phi\rangle = \langle \psi|A\phi\rangle$)

und

(2) sie genießen die Kommutierungsbeziehungen einiger Lie-Algebra$\ell$:

Bekanntlich ist eine abstrakte Lie-Algebra gegeben$\ell$es gibt (bis auf Lie-Gruppen-Isomorphismen) eine eindeutige einfach zusammenhängende Lie-Gruppe${\cal G}_\ell$so dass seine Lie-Algebra mit übereinstimmt$\ell$.${\cal G}_\ell$stellt sich als universelle Überdeckung aller anderen Lie-Gruppen heraus, deren Lie-Algebra ist$\ell$selbst.

Alle diese Gruppen in einer Umgebung der Identität sind isomorph zu einer entsprechenden Umgebung der Identität von${\cal G}_\ell$. (Als Beispiel betrachten Sie einfach die einfach verbundenen$SU(2)$das ist die universelle Bedeckung von$SO(3)$), so dass sie dieselbe Lie-Algebra teilen und lokal identisch sind und Unterschiede weit vom neutralen Element entfernt auftreten.

Wenn (1) und (2) gelten, lautet die natürliche Frage:

Gibt es eine stark kontinuierliche einheitliche Darstellung?${\cal G} \ni g \mapsto U_g$einer Lie-Gruppe$\cal G$nur zugeben$\ell$als seine Lie-Algebra, so dass

Wo$t\mapsto g_i(t)$die einparametrige Lie-Untergruppe von ist$\cal G$generiert von (dem Element$a_i$von$\ell$korrespondierend zu)$A_i$und$\overline{A_i}$ist eine selbstadjungierte Erweiterung von$A_i$.

Wenn es der Fall ist,$\cal G$ist eine stetige Symmetriegruppe für das betrachtete physikalische System, die selbstadjungierten Operatoren$\overline{A_i}$stellen physikalisch relevante Observablen dar. Wenn die Zeitentwicklung in der Mitte der Gruppe enthalten ist (dh der Hamilton-Operator ist eine Linearkombination der$A_i$s und pendelt mit jedem von ihnen) all diese Observablen sind Erhaltungsgrößen . Ansonsten ist die Situation etwas komplizierter, dennoch kann man Erhaltungsgrößen parametrisch in Abhängigkeit von der Zeit definieren und zur Lie-Algebra der Darstellung gehören (man denke an die Boost-Generatoren when$\cal G$ist$SL(2,\mathbb C)$).

Nun, der Fundamentalsatz von Nelson hat die folgende Aussage.

THEOREM (Nelson)

Betrachten Sie eine Reihe von Operatoren$\{A_i\}_{i=1,\ldots, N}$auf einem gemeinsamen Hilbertraum${\cal H}$(1) und (2) oben erfüllen. Wenn${\cal D}$in (2) ist ein dichter Unterraum, so dass der symmetrische Operator

(a) Jeder$A_i$ist im Wesentlichen selbstadjungiert on$\cal D$,

und

(b) es existiert eine stark stetige einheitliche Darstellung auf$\cal H$der einzigartigen einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe${\cal G}_\ell$zugeben$\ell$als Lie-Algebra, vollständig definiert durch die Anforderungen:

Beachten Sie, dass die Darstellung automatisch einheitlich und nicht projektiv einheitlich ist: Es treten keine störenden Phasen auf.

Das einfachste Beispiel sind Operatoren$J_x,J_y,J_z$. Das ist leicht zu beweisen$J^2$ist im Wesentlichen selbstadjungiert auf der Menge, die von Vektoren aufgespannt wird$|j,m, n\rangle$. Der Punkt ist, dass man auf diese Weise einheitliche Darstellungen erhält$SU(2)$und nicht$SO(3)$, da erstere die einzige einfach zusammenhängende Lie-Gruppe ist, die die Algebra von zulässt$J_k$als eigene Lie-Algebra.

Betrachten Sie als weitere Anwendung$X$und$P$definiert an${\cal S}(\mathbb R)$wie gewöhnlich. Die drei symmetrischen Operatoren$I,X,P$Genießen Sie die Lie-Algebra der Weyl-Heisenberg-Lie-Gruppe. Darüber hinaus$\Delta = X^2+P^2 +I^2$ist im Wesentlichen selbstadjungiert an${\cal S}(\mathbb R)$, weil es einen dichten Satz analytischer Vektoren zulässt (die endlichen linearen Kombinationen von Eigenzuständen des harmonischen Standardoszillators). Somit lassen diese Operatoren eindeutige selbstadjungierte Erweiterungen zu und sind Generatoren einer einheitlichen Darstellung der (einfach zusammenhängenden) Weyl-Heisenberg-Lie-Gruppe. Dieses Beispiel gilt auch für das Ersetzen$L^2$mit einem anderen generischen Hilbertraum$\cal H$und$X,P$mit Operatoren, die CCR auf einer dichten invarianten Domäne verifizieren, wo$X^2+P^2$(und damit auch$X^2+P^2 +I^2$) ist im Wesentlichen selbstadjungiert. Es lässt sich beweisen, dass die Existenz des unitären Repräsentanten der Weyl-Heisenberg-Lie-Gruppe, falls der Raum irreduzibel ist, die Existenz eines unitären Operators aus belegt${\cal H}$zu$L^2$transformieren$X$und$P$in die Standardoperatoren. Auf diese Weise baut man einen alternativen Beweis des Satzes von Stone-von Neumann auf.

Als letzten Kommentar betone ich das normalerweise${\cal G}_\ell$ist nicht die Gruppe, die im physischen Raum agiert, und diese Tatsache kann zu Problemen führen: Denken Sie an$SO(3)$das ist die Gruppe von Rotationen, die man auf Quantenebene darstellen möchte, während er/sie mit einer einheitlichen Darstellung davon endet$SU(2) \neq SO(3)$. Normalerweise entsteht auf diese Weise nichts allzu Schlimmes, da die einzige Folge das Auftreten störender Phasen ist, wie von Josh erklärt, und Gesamtphasen wirken sich nicht auf Zustände aus. Trotzdem passiert manchmal eine Katastrophe: Zum Beispiel kann ein physikalisches System keine Quantenzustände annehmen, die kohärente Überlagerungen von sowohl ganzzahligem als auch halbzahligem Spin sind. Andernfalls würde nach a eine interne Phase stattfinden$2\pi$Drehung. Was in diesen Fällen getan wird, ist nur, diese unglücklichen Überlagerungen zu verbieten. Dies ist eine der Möglichkeiten, Superselection-Regeln zu realisieren .

Ich möchte Joshs Antwort ergänzen, weil er nicht wirklich erklärt hat, was eine universelle Abdeckgruppe ist. Im Wesentlichen ein Raum$T$ist ein überdeckender Raum eines anderen Raums$U$if, für eine offene Teilmenge von$U$, es gibt eine Funktion$f$das eine Vereinigung disjunkter offener Teilmengen von abbildet$T$zur Teilmenge von$U$. Oder, einfacher ausgedrückt, suchen Sie sich einen Teil Ihres Raums aus$U$, und ich werde Ihnen einige verschiedene Stücke finden$T$die eine Funktion haben, die sie auf das Stück abbildet$U$. Im Falle des$T = Spin(3)$und$U = SO(3)$, gibt es zwei disjunkte Teilmengen von$Spin(3)$für jede Teilmenge von$SO(3)$, also sagen wir das$Spin(3) \cong SU(2)$ist die doppelte Abdeckung von$SO(3)$.

Nun, in der Art und Weise, wie sich dies auf Bosonen und Fermionen bezieht, kommt Joshs Antwort ins Spiel. Wir wollen, dass physikalische Zustände in Vektorräumen leben, die (projektive) Darstellungen unserer Symmetriegruppen tragen. Der „projektive“ Teil bedeutet, dass unsere Zustände eine Phase aufnehmen können, wenn sie in andere Zustände umgewandelt werden – also zum Beispiel, wenn Sie einen Spin-1/2-Zustand um 360 drehen$^{\circ}$erhält der Zustand ein Minuszeichen. Es stellt sich heraus, dass zumindest im Fall von$SO(3)$, können wir den "projektiven" Teil davon - und damit diese lästigen Minuszeichen - eliminieren, indem wir stattdessen Darstellungen des Abdeckraums betrachten.