Fehlendes komplexes Konjugat in (1/2,1/2)-Darstellung der Lorentz-Gruppe Ticciati QFT

Ich habe einige Berechnungen mit Darstellungen der Lorentz-Gruppe durchgearbeitet (jetzt mit dem fantastischen Ticciati QFT-Lehrbuch).

Nach einiger Arbeit gibt Ticciati die folgende Formel an

$$D^{j_{1},j_{2}}(X_{i})=D^{j_{1}}(T_{i})\otimes \mathbf{I}_{2j_{2}+1}+\mathbf{I}_{2j_{1}+1}\otimes D^{j_{2}}(T_{i}),$$ Wo$X_{i}$sind die Generatoren der Lorentz-Gruppe, die in der Mathematikerkonvention ohne den zusätzlichen Faktor von i geschrieben sind, und die$T_{i}$sind die$\mathfrak{su}(2)$Matrizen.

Ich habe nachgerechnet$D^{0,1/2}(X_{k})$Und$D^{1/2,0}(X_{k})$, erhalten$-\frac{i}{2}\sigma_{k}$in jedem Fall. Dieses Ergebnis stimmt mit dem überein, was Ticciati in Gleichung (6.7.9) erhält.

Das Problem tritt auf, wenn ich berechne$D^{1/2,1/2}$. Ich weiß, dass ich mit den Clebsch-Gordon-Koeffizienten einen Basiswechsel durchführen muss, aber ich komme nur dann auf die richtige Matrix, wenn ich ein komplexes Konjugat zu der Formel hinzufüge, die Ticciati gibt:

$$D^{j_{1},j_{2}}(X_{i})=D^{j_{1}}(T_{i})\otimes \mathbf{I}_{2j_{2}+1}+\mathbf{I}_{2j_{1}+1}\otimes (D^{j_{2}}(T_{i}))^{*}.$$

Ich habe einen anderen Beitrag gefunden: Beweisen Sie das$(1/2,1/2)$Die Lorentz-Gruppendarstellung ist ein 4-Vektor , der dasselbe tut, der Autor dieses Beitrags hat jedoch nicht erklärt, warum dieses komplexe Konjugat erscheint.

Ich habe versucht, die Formel mit der komplexen Lorentz-Algebra abzuleiten

$$A_{k}=\frac{1}{2}(X_{k}+iB_{k}), \qquad C_{k}=\frac{1}{2}(X_{k}-iB_{k}),$$ und dann Mitarbeiter in den Produktbereich einbetten$\mathbf{C}^{(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$durch Schreiben $$D^{j_{1},j_{2}}(A_{k})=D^{j_{1}}(T_{k})\otimes \mathbf{I}_{2j_{2}+1}$$ Und $$D^{j_{1},j_{2}}(C_{k})=\mathbf{I}_{2j_{1}+1}\otimes D^{j_{2}}(T_{k}).$$ Leider habe ich immer noch das gleiche Problem! Irgendwas muss ich nicht verstehen! Jede Hilfe wäre willkommen.

*Edit: Ich gebe hier eine explizite Berechnung für$X_{1}$unter Verwendung des komplexen Konjugats.

$D^{1/2,1/2}(X_{1})=\frac{-i}{2}\sigma_{1}\otimes \mathbf{I}_{2}+\mathbf{I}_{2}\otimes (\frac{-i}{2}\sigma_{1})^{*}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{-i}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{-i}{2} \\ \frac{-i}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{-i}{2} & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & \frac{i}{2} & 0 & 0 \\ \frac{i}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\ 0 & 0 & \frac{i}{2} & 0 \\ \end{pmatrix}$

Dann verwendet der Autor in dem von mir oben verlinkten Beitrag die folgende Matrix, um die Basis zu ändern (wenn jemand erklären könnte, woher diese Matrix stammt, wäre das sehr hilfreich!):$U=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & i & -i & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$

Dann bekomme ich$U^{-1}D^{1/2,1/2}(X_{1})U=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}=-iJ_{1}$