Spinoren und Tensoren: Welche Form hat die Spintransformationsmatrix?

Spinor-Darstellungen existieren nur in euklidischen oder in Minkowski-Räumen, aber nicht in Räumen, die allgemeinere Koordinaten benötigen, wie gekrümmte Räume. Trotzdem kann man lokale Minkowski-Rahmen verwenden, die durch sogenannte Tetraden konstruiert werden können$e^a_\mu(x)$. Also ein Vektor, dessen allgemeine Koordinaten durch einen griechischen Index nummeriert sind$\mu$kann beispielsweise in einen lokalen Minkowski-Rahmen transformiert werden, dessen Koordinaten durch einen lateinischen Index nummeriert sind$a$:

$V^a = e^a_\mu(x) V^\mu$

Die Spinoren leben nur in den lokalen Minkowski-Frames. Die Transformationsgruppe, die hier die Transformationsregeln regelt, ist die Lorentz-Gruppe. Vektoren in diesem Rahmen transformieren also gemäß Lorentz-Transformationen:

$V^a = \Lambda^a_{\,b} V^b$

Neben 4-Vektoren können auch Spinoren existieren, da die Lorentz-Gruppe zweiwertige Spinordarstellungen hat. In Ihrem Beitrag ist die Art des Spinors nicht angegeben, es könnte also tatsächlich ein Weyl-Spinor, Majorana-Spinor oder ein Dirac-Spinor sein. Während sich Majorana- und Dirac-Spinoren nach reduzierbaren Darstellungen der Lorentz-Gruppe transformieren, transformieren sich Weyl-Spinoren nach der irreduziblen Fundamental-Spinor-Darstellung der Lorentz-Gruppe. Der Vollständigkeit halber gibt es tatsächlich 2 Arten von fundamentalen Spinordarstellungen, die durch die Indexnotation unterschieden werden. Der „Erste“ hat Indizes ohne Punkt, der Zweite ist mit gepunkteten Indizes gekennzeichnet. Einmal die erste Darstellung$(\mathbf{v},\vec{\alpha})\rightarrow A$bekannt ist, ist die zweite die komplex-konjugierte zur ersten:$(\mathbf{v},\vec{\alpha})\rightarrow A^\ast$. Diese zweite Darstellung ist nicht äquivalent zur ersten.

Die fundamentalen Spindarstellungsmatrizen$A\in SL(2,\mathbf{C})$bilden die Gruppe der$2x2$Unimodulare Matrizen, dh$det(A)=1$. Diese Matrizen sind nicht unitär, wenn es nur eine Art von Spin-Darstellung gäbe. Das ist tatsächlich der Fall, wenn die Transformationen in diesem speziellen Fall auf die Rotationsgruppe beschränkt sind$A\in SU(2)$.

Schließlich kann ich, da die Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe bekannt ist, sogar die Form der (undpunktierten) Spin-Darstellung angeben:

$$A = \exp(-\frac{1}{2}\mathbf{u}\vec{\sigma}) \exp(-\frac{i}{2}\vec{\alpha}\vec{\sigma})$$

Wo$\vec{\sigma}$sind die Pauli-Matrizen,$\vec{\alpha}$der Rotationsvektor und$\mathbf{u} = artanh(v)R(\vec{\alpha})\frac{\mathbf{v}}{v}\quad v=|\mathbf{v}|$.$\alpha$Und$\mathbf{v}$sind die 6 Parameter, die die Lorentz-Gruppe parametrisieren (Rotationen kombiniert mit Boosts).

Schlussbemerkung: Die Matrizen$A$transformiere kontravariante Spinoren:

$\Psi'^a = A^a_{\, b} \Psi^b$

wohingegen sich Spinoren mit kovarianten Indizes gemäß der Kontra-Gradient-Matrix transformieren$A^{-1\,T}$(Das ist dasselbe wie bei 4-Vektoren, die sich entweder gemäß der Standard-Lorentz-Transformation oder der kontragradienten transformieren, wenn sie kovariante Indizes haben). Die kontragradiente Spindarstellung ist äquivalent zu$A$, dh es existiert eine Matrix$S$mit$A^{-1\,T} = SAS^{-1}$:

$$\Phi' = A^{-1\,T} \Phi \quad\quad \text{with indices} \quad\quad \Phi'_a = A_a^{\,b} \Phi_b$$