Christoffel-Symbole und Dirac-Matrizen mathematische Ähnlichkeiten?

OK, ich komme etwas später dazu, als ich ursprünglich dachte, dass ich es tun würde, aber hoffentlich ist es in Ordnung :)

Gehen wir also zurück zu der ersten Gleichung, die Sie aufgeschrieben haben, aber ordnen Sie sie ein wenig um:

$$\begin{equation} \nabla = \partial + \Gamma \end{equation}$$

Wenn ich jetzt einen GR-Kurs im ersten Jahr unterrichte und jemand mir das zeigt, würde ich ihn anschreien, weil zum Beispiel$\nabla \phi =\partial \phi$ohne Christoffel-Symbole.

Wenn wir jedoch bereit sind, mit unserer Notation etwas lockerer zu sein, dann ist diese Gleichung in gewisser Weise in Ordnung. Das müssen wir einfach sagen$\Gamma$bezieht sich nicht explizit auf die Christoffel-Symbole, sondern ist eher eine schematische Aussage, die besagt, dass es ein Verbindungsstück der kovarianten Ableitung gibt, das von der Darstellung des Objekts abhängt, auf das die kovariante Ableitung wirkt. Wenn das Objekt ein Skalar ist,$\Gamma=0$. Wenn das Objekt ein Vektor ist, erhalten Sie die normalen Christoffels. Wenn das Objekt ein Tensor ist,$\Gamma$steht für die spezifische Kombination von Christoffels, die für diesen Tensor geeignet ist. Es ist wie beim Schreiben$D_\mu=\partial_\mu+ig A_\mu$für eine Yang-Mills-Theorie wissen Sie streng genommen nicht, was$A_\mu$bis Sie die Darstellung des Objekts kennen, auf das die kovariante Ableitung wirkt.

Wechseln wir also in diesem Sinne zum Einstein-Cartan-Formalismus. Anstatt mit der Metrik zu arbeiten$g_{\mu\nu}$und zugehörige Verbindung$\Gamma^\mu_{\rho\sigma}$Als Variablen arbeiten wir mit dem vielbein$e^a_\mu$und die dazugehörige "Spinnverbindung"$\omega^{ab}_\mu$. Das Vielbein ist definiert durch

$$\begin{equation} g_{\mu\nu} = \eta_{ab} e^a_\mu e^b_\nu \end{equation}$$

und es hat viele schöne Eigenschaften, über die Sie an anderer Stelle lesen können. Der$\mu$index ist der Standard-Tangentenraumindex. Beide$e$Und$\omega$sind Raumzeit-Eins-Formen, wie Sie sehen können. Der$a,b$Indizes können als interne Indizes betrachtet werden, die einer internen Lorentz-Gruppe entsprechen.

Der Hauptpunkt ist, dass es ein Analogon von gibt$\nabla$für Objekte mit lokalen Lorentz-Indizes. Wir können es nennen$D$, und wir können eine ähnlich schematische Gleichung schreiben

$$\begin{equation} D = d + \omega \end{equation}$$

Dieser Formalismus ist am nützlichsten, wenn es um Formen geht (dh um Objekte, die eine beliebige Anzahl lokaler lorentz$a,b$Indizes, aber alle deren Raumzeit-Indizes$\mu,\nu$sind (1) unten und (2) total antisymmetrisch), also die$\Gamma$Stück der kovarianten Ableitung fällt heraus. Daher habe ich die äußere Ableitung verwendet$d$statt partiell$\partial$.

Das$D$ist eine kovariante Ableitung, die auf die lokalen Lorentz-Indizes einwirkt. Wenn ich eine lokale Lorentz-Transformation durchführe (die, wie es auf dem Zinn steht, eine lokale Symmetrie ist), verhält sich diese kovariante Ableitung wie ein lokaler Lorentz-Tensor.

Jetzt auf lokale Lorentz-Skalare wirkend,$\omega=0$. Anhand lokaler Lorentz-Vektoren können Sie den passenden Ausdruck dafür erarbeiten$\omega$. Nur zur Verdeutlichung wirkt die kovariante Ableitung auf Lorentz-Vektoren als

$$\begin{equation} D_\mu V^a = \partial_\mu V^a + \omega^{ab}_\mu V^a \end{equation}$$ wo Sie die Komponenten ausarbeiten müssen $\omega^{ab}_\mu$.

Sie sollten vermuten, dass es eine Beziehung zwischen den Komponenten von geben sollte$\omega$die auf einen Lorentz-Vektor einwirken, und die Komponenten der üblichen Christoffel-Symbole, die die für die Einwirkung auf einen Raumzeit-Vektor relevante Verbindung darstellen. Tatsächlich gibt es eine solche Beziehung, das ist sie

$$\begin{equation} \omega^{ab}_\mu=e_\nu^a \partial_\mu e^{\nu,b} + e_\nu^a e^{\sigma b} \Gamma^\nu_{\sigma\mu} \end{equation}$$ (Die $e$mit einem oberen Raumzeitindex $e^\mu$ist ein inverses Vielbein, dh das Matrix-Inverse des ursprünglichen Vielbeins).

Nun das Schöne an diesem Derivat$D$ist das anders$\nabla$, es kann auf Spinoren wirken. Der Spinor trägt keinen Raumzeit-Index, aber einen lokalen Lorentz-Index, der in der Spinor-Darstellung lebt. In dieser Darstellung

$$\begin{equation} D_\mu \psi = \partial_\mu \psi - \frac{i}{4}\omega^{ab}_\mu [\gamma^a,\gamma^b]\psi \end{equation}$$ Hier $\omega^{ab}_\mu$ist dasselbe $\omega^{ab}_\mu$oben verwendet. Der Faktor von $-i/4$hängt von den spezifischen Gamma-Matrix-Konventionen ab, die Sie verwendet haben. Ich habe dies nur aus Wikipedia gestohlen, damit ich die genaue Konvention nicht kenne.

Also in der schematischen Notation$D=d+\omega$, wir sehen$\omega^{spinor} = -\frac{i}{4}\omega^{ab}_\mu[\gamma^a,\gamma^b]$. (Das könnte verwirrend sein$\omega^{spinor}$beinhaltet$\omega^{ab}_\mu$, aber das sind die Kosten für die Verwendung einer schematischen / schlampigen Notation. Der Punkt ist, dass das Verbindungsstück von$D$beinhaltet a$\Gamma$-ähnliches Objekt, wenn$D$wirkt auf lokale Lorentz-Vektoren und beinhaltet die$\gamma$Matrizen, die auf lokale Lorentz-Spinoren wirken).

Das ist also zumindest in einem Sinne, in dem Ihre ursprüngliche Aussage richtig ist: Es besteht eine Verbindung zwischen den Christoffels- und den Dirac-Matrizen aufgrund der Ausarbeitung von Eigenschaften kovarianter Ableitungen. Es gibt ein Objekt,$\omega$, die in verschiedenen Darstellungen auf (1) im Wesentlichen die Chrisoffel-Symbole oder (2) den Kommutator von Dirac-Matrizen reduziert.