Können wir die Metrik immer lokal aufteilen als −N2dt2+gijdxidxj−N2dt2+gijdxidxj- N^2dt^2+g_{ij}dx^idx^j?

Wir bieten einen alternativen Nachweis an.

Lassen$(M^{n+1},g)$eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit sein und fixieren$p\in M$. Lassen$(x^\mu)$ein auf definiertes Koordinatensystem sein$U\ni p$so dass$\partial_0$ist ein zeitartiges Vektorfeld und$\partial_i$sind raumartige Vektorfelder für$i=1,\dotsc,n$. Ein solches Diagramm wird hier konstruiert . Beachten Sie insbesondere das$g_{\mu\nu}(p)=\eta_{\mu\nu}$, die Minkowski-Metrik. Also die inverse Metrik$g^{-1}$bei$p$Ist$\eta^{\mu\nu}$. Als Dual von$\{\partial_\mu\}$Ist$\{dx^\mu\}$, wir haben$g^{00}=g^{-1}(dx^0,dx^0)=-1$bei$p$, So$g^{-1}(dx^0,dx^0)<0$in einer Nachbarschaft$U$von$p$.

Erinnern Sie sich an folgende Tatsache:$g(X,Y)=g^{-1}(X^\flat,Y^\flat)$, Wo$\flat$ist der Absenkungsoperator. Um dies zu sehen, arbeiten Sie dann in einer Basis$g(X,Y)=g_{\mu\nu}X^\mu Y^\nu=g_{\mu\nu}g^{\mu\rho}X_\rho g^{\nu\sigma}Y_\sigma=g^{\rho\sigma}X_\rho Y_\sigma=g^{-1}(X^\flat,Y^\flat).$

So haben wir$g(\text{grad}\,x^0,\text{grad}\,x^0)<0$In$U$, So$\text{grad}\,x^0$ist da zeitgemäß. Betrachten Sie die Hyperfläche$\Sigma=[x^0=0]$In$U$, was beinhaltet$p$. Es ist bekannt, dass das normale Feld zu$\Sigma$Ist$\text{grad}\,x^0$, was zeitgemäß ist. Daher$\Sigma$ist eine raumartige Hyperfläche, die enthält$p$.

Gaußsche Koordinaten ergeben dann die gewünschte Form der Metrik in irgendeiner Umgebung von$p$, mit$N=1$.

In den Kommentaren hat das OP seine Argumentation irgendwie verdeutlicht. Hier zeige ich, warum es fehlschlägt.

Dagegen spricht nichts$x^h$abhängig sein von$x'^0$, wenngleich$x^0 = x'^0$, Zum Beispiel

$$u:(t,\mathbf{x}) \mapsto (t',\mathbf{x'}) = (t, R(\omega t)\mathbf{x}),$$ Sein $R(\theta)$etwas Drehung des Winkels $\theta$.

Nun scheint das Problem von der Identität her zu kommen$\partial_\nu x^\mu = \delta_\nu^\mu$, das halte ich für wahr. Aber wir müssen vorsichtig damit umgehen. Zum Beispiel in diesem Beispiel

$$\frac{\partial \mathbf x'}{\partial t} = 0$$ aber was nicht Null ist, ist $$\frac{\partial \mathbf x' \circ u }{\partial t} =\frac{\partial R \mathbf x }{\partial t} = \frac{\partial R}{\partial t} \mathbf x$$ Wo $u$ist die Koordinatenänderung.

Diese Verwirrung ist eine Folge davon, dass sowohl die Koordinaten als auch der Diffeomorhismus zwischen ihnen mit denselben Buchstaben bezeichnet werden.