Kann jemand ein Lehrbuch vorschlagen, das die allgemeine Relativitätstheorie aus einer streng mathematischen Perspektive behandelt? Ideal wäre ein solches Buch
Beweisen Sie alle verwendeten Theoreme.
Verwenden Sie moderne "mathematische Notation" im Gegensatz zu "physikalischer Notation", insbesondere in Bezug auf lineare Algebra und Differentialgeometrie.
Haben Sie Beispiele, die sowohl rechnerische als auch theoretische Aspekte veranschaulichen.
Haben Sie eine Reihe von Übungen mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden, mit Antworten.
Ein idealer Text würde sich eher wie ein Mathematikbuch als wie ein Physikbuch lesen und nur wenige Voraussetzungen in Physik verlangen. Unterm Strich wünsche ich mir ein Buch, das eine axiomatische Entwicklung der Allgemeinen Relativitätstheorie anschaulich darstellt und mit mathematischer Präzision die Details der Theorie herausarbeitet.
Nachtrag (1): Ich hatte nicht vor, einen Krieg um die Notation zu beginnen. Wie ich in einem der folgenden Kommentare sagte, halte ich die Indiziennotation zusammen mit der Summationskonvention für sehr nützlich. Der koordinatenfreie Ansatz hat auch seinen Nutzen und ich sehe keinen Grund, warum die beiden nicht friedlich koexistieren können. Was ich mit „Mathematische Notation“ vs. „Physikalische Notation“ gemeint habe, ist Folgendes: Betrachten Sie als Beispiel einen der führenden Texte über glatte Mannigfaltigkeiten, John Lees Introduction to Smooth Manifolds. Ich bin an diese Notation sehr gewöhnt und sie ist der Notation sehr ähnlich, die zum Beispiel von Tu's Introduction to Manifolds und anderen populären Texten zur Differentialgeometrie verwendet wird. Nehmen Sie andererseits Frankels Geometrie der Physik. Jetzt, Das ist ein nettes Buch, aber es fällt mir sehr schwer, ihm zu folgen, weil 1) Beweise fehlen und 2) die Notation nicht mit anderen mathematischen Texten übereinstimmt, an die ich gewöhnt bin. Natürlich gibt es Gemeinsamkeiten, aber genug ist anders, dass ich es wirklich nervig finde, zu versuchen, zwischen den beiden zu übersetzen ...
Anhang (2): Zum Nutzen zukünftiger Leser habe ich zusätzlich zu den nachstehenden Vorschlägen einen weiteren Text gefunden, der ebenfalls eng mit den oben genannten Kriterien übereinstimmt. Es ist Spacetime: Foundations of General Relativity and Differential Geometry von Marcus Kriele. Der Autor beginnt mit der Erörterung der affinen Geometrie, der Analyse von Mannigfaltigkeiten, der multilinearen Algebra und anderer Grundlagen und führt ungefähr in der Mitte des Textes zur allgemeinen Relativitätstheorie. Die Notation stimmt auch ziemlich mit den Büchern über Differentialgeometrie überein, die ich oben erwähnt habe.
Die Physikarbeit auf diesem Gebiet ist streng genug. Hawking and Ellis ist eine Standardreferenz und in Bezug auf die Strenge vollkommen in Ordnung.
Wenn Sie zum Beispiel eine Tensorkontraktion von moderater Komplexität haben:
und Sie versuchen, es in einer indexfreien Notation auszudrücken, normalerweise bedeutet das, dass Sie einen Ausdruck in Klammern machen, der macht
Oder vielleicht
Oder etwas anderes. Es ist sehr einfach (rigoros) zu beweisen, dass es keine Klammernotation gibt, die Tensorindexkontraktionen reproduziert, weil Klammern von einer Stapelsprache (kontextfreie Grammatik in Chomskys Klassifikation) geparst werden, während Indizes auf diese Weise nicht geparst werden können, weil sie allgemein enthalten Grafiken. Die Klammern erzeugen Parse-Bäume, und Sie haben immer exponentiell viele maximale Bäume in jedem Diagramm, sodass in der Notation eine exponentielle Redundanz vorliegt.
Dies bedeutet, dass jeder Versuch einer indexfreien Notation, die wie Mathematiker Klammern verwendet, kläglich scheitern wird: Sie wird exponentiell viele verschiedene Ausdrücke für denselben Tensorausdruck haben. In der Mathematikliteratur sieht man oft Tensorräume, die in Form von Karten definiert sind, mit vielen "natürlichen Isomorphismen" zwischen verschiedenen Klassen von Karten. Dies spiegelt die schreckliche Übereinstimmung zwischen funktionaler Notation und Indexnotation wider.
Da die Notation in Klammern für Tensoren fehlschlägt und die Indexkontraktion Objekte paarweise abgleicht, gibt es viele nützliche Diagrammformalismen für Tensorobjekte. Diagramme stellen Kontraktionen auf eine Weise dar, die keinen Namen für jeden Index erfordert, da die Diagrammlinien Steckdosen mit Steckern mit einer Linie zuordnen, ohne einen Namen zu verwenden.
Für die Lorentz-Gruppe und die Allgemeine Relativitätstheorie hat Penrose eine sehr nützliche Diagramm-Index-Notation eingeführt. Für die High-Spin-Darstellungen von SU(2) und ihren Clebsch-Gordon- und Wigner-6-j-Symbolen sind Diagramme vom Penrose-Typ absolut notwendig. Ein Großteil der neueren Literatur zu Quantengruppen und Jones-Polynomen ist beispielsweise vollständig von der Penrose-Notation für SU(2)-Indizes und manchmal SU(3) abhängig.
Feynman-Diagramme sind der bekannteste diagrammatische Formalismus, und diese sind auch nützlich, weil die Kontraktionsstruktur von Indizes/Propagatoren in einem Ausdruck der Quantenfeldtheorie zu exponentiellem Wachstum und nicht offensichtlichen Symmetrien führt. Feynman-Diagramme haben die algebraischen Ausdrücke im Schwinger-Stil übernommen, da die algebraischen Ausdrücke im Vergleich zu den Diagrammen dieselbe exponentielle Redundanz aufweisen.
Auf dem Gebiet der theoretischen Biologie tritt das gleiche Problem der exponentiellen Notation auf. Protein-Interaktionsdiagramme sind in der Petri-Netz-Notation oder in Bezug auf algebraische Ausdrücke exponentiell redundant. Die dort eingeführten Diagrammnotationen lösen das Problem vollständig und geben eine gute Übereinstimmung zwischen dem Diagrammausdruck und der Proteinfunktion in einem Modell.
Auch im Bereich der Semantik innerhalb der Philosophie (sofern davon noch etwas übrig ist) führen die Ideen Freges zu einem ebensolchen exponentiellen Wachstum. Frege betrachtete einen Satz als eine Zusammensetzung aus Subjekt und Prädikat und betrachtete das Prädikat als eine Funktion vom Subjekt zur Bedeutung. Die Funktion wird definiert, indem das Prädikat an das Subjekt angehängt wird. So dass „John läuft“ als Funktion „Läuft“ („John“) gedacht wird.
Dann ist ein Adverb eine Funktion von Prädikaten zu Prädikaten, also bedeutet "John läuft schnell" ("schnell"("Läuft"))("John"), wobei das schnell auf "läuft" wirkt, um ein neues Prädikat zu erstellen , und dies wird auf "John" angewendet.
Aber was ist nun mit Adverb-Modifikatoren wie „sehr“, wie in „John läuft sehr schnell“? Sie können dies als Funktionen von Adverbien zu Adverbien oder als Funktionen von Prädikaten zu Prädikaten darstellen, je nachdem, wie Sie Klammern setzen:
(("sehr"("schnell"))("läuft"))("John")
vs.
(("sehr")(("schnell")("läuft"))("John")
Welche dieser beiden Einklammerungen richtig ist, definiert zwei Schulen der semantischen Philosophie. Es gibt endlose Debatten über die richtige Fregsche Darstellung verschiedener Wortarten. Die Auflösung besteht wie immer darin, die richtige Diagrammform zu identifizieren, die die exponentielle Mehrdeutigkeit der funktionalen Darstellung in Klammern beseitigt. Die Tatsache, dass Philosophen dies in 100 Jahren dieser Art von Debatte über Fregianische Semantik nicht getan haben, zeigt, dass das Feld nicht gesund ist.
Ich stimme Ron Maimon zu, dass die großräumige Struktur der Raumzeit von Hawking und Ellis eigentlich schon mathematisch ziemlich streng ist. Wenn Sie darauf bestehen, das irgendwie zu ergänzen:
Wenn Sie daran interessiert sind, etwas über die mathematischen Werkzeuge zu lernen, die in der modernen klassischen GR verwendet werden, und weniger über die eigentlichen Theoreme, dann leisten die ersten Dutzend Kapitel von Exakte Lösungen von Einsteins Feldgleichungen (von Stephani et al ) ziemlich gute Arbeit.
Ich empfehle Yvonne Chocquet-Bruhat, Géométrie différentielle et systèmes extérieurs , weil es so kurz ist und Übungen enthält und in der gewünschten Notation ist. Ich empfehle es sehr (auch wenn Sie es nicht mit ihrem beschrifteten Autogramm bekommen können.)
Ich empfehle auch sehr stark ihre viel längere (aber versuchen Sie, die erste Ausgabe zu bekommen, die immer noch ziemlich lang ist) Analysis, Manifolds and Physics von Yvonne Choquet-Bruhat, Cecile Dewitt-Morette und Margaret Dillard-Bleick, die viele Übungen und vieles mehr enthält mehr Physik ... ist aber zu lang. Meine Güte, es enthält sogar Brownsche Bewegung und Pfadintegrale ....
Allerdings haben Dirac und Schroedinger gute und sehr kurze Physikbücher zu diesem Thema, ich empfehle diese auch, obwohl sie nicht ganz das sind, wonach Sie gefragt haben.
Auch das Buch von Bob Geroch ist wertvoll.
Die anderen Antworten erwähnen bereits viele gute Lehrbücher über mathematische Aspekte der Allgemeinen Relativitätstheorie. Allerdings scheinen noch zwei Bücher zu fehlen, die meiner Meinung nach auch recht gut zu diesem Thema sind. Lassen Sie mich sie hier hinzufügen:
Vielleicht dieses hier: Eine mathematische Einführung in die Allgemeine Relativitätstheorie
Die Voraussetzungen sind minimal: Ein Student im zweiten/dritten Studienjahr in Mathematik ohne Vorkenntnisse in Differentialgeometrie oder Physik über einen standardmäßigen College-Kurs im ersten Studienjahr in allgemeiner Physik hinaus sollte in der Lage sein, diesem Buch zu folgen. Es gibt vollständige Lösungen zu allen Übungen, die in dem Buch enthalten sind.
3Sphäre
Jerry Schirmer
Josef f. Johnson