Krümmung der konischen Raumzeit

Stellen Sie sich ein Dreieck auf dem Originalpapier vor, und jetzt, nachdem Sie es zusammengesetzt haben, würde ein Beobachter nicht denken, dass die Linien jetzt gekrümmt sind?

Die Antwort ist nein: Linien, die auf dem Originalpapier gerade waren, sind immer noch gerade, nachdem es zu einem Kegel geformt wurde. Eine Möglichkeit, den Grund dafür zu erkennen, besteht darin, die Dinge explizit in Polarkoordinaten aufzuschreiben. Lassen$(r,\phi)$Seien Sie die Polarkoordinaten eines Punktes auf dem Papier, bevor Sie es zu einem Kegel gefaltet haben. Setzen Sie den Ursprung auf die Spitze des Kegels. Der fehlende Keil des Papiers bedeutet, dass nur Winkel von 0 bis$2\pi-\alpha$wird auf dem Papier existieren, wo$\alpha$ist das "Winkeldefizit". Sobald Sie das Papier zu einem Kegel gefaltet haben, zeigen Sie mit$\phi=0$wird mit Punkten gekennzeichnet$\phi=2\pi-\alpha$.

Auf dem flachen Papier ist der Abstand zwischen zwei nahegelegenen Punkten

Die Tatsache, dass die obige Gleichung sowohl für das Originalpapier als auch für den Kegel gilt, ist alles, was Sie wissen müssen, um sicher zu sein, dass die Geometrie des Kegels flach ist und dass gerade Linien in einem auf gerade Linien im anderen abgebildet werden. Angenommen, Sie haben einen Pfad, der zwei Punkte verbindet$(r_1,\phi_1)$Und$(r_2,\phi_2)$. Die Länge dieses Pfades ist nur das Integral von$ds$auf diesem Weg. Dieses Integral ist vor und nach dem Falten des Papiers zu einem Kegel genau gleich. Daher ist der Weg, der vor dem Konusbilden der kürzeste war, auch der kürzeste Weg danach.

Krümmung hat man im Allgemeinen nur, wenn man das Papier „knüllen“ oder „dehnen“ muss. Wenn Sie einen Kegel bilden, müssen Sie das nirgendwo tun, außer an der Spitze.

Wenn Sie weiter gehen und die Krümmung tatsächlich berechnen möchten, benötigen Sie die Maschinerie der Riemannschen Geometrie. Wenn Sie eher wie ein Physiker als wie ein Mathematiker denken, dann würde ich empfehlen, das aus einem Buch über die allgemeine Relativitätstheorie zu lernen. Ich mag die von Schutz und die von Hartle für einen ersten Durchgang durch das Thema. Alles, was ich hier sagen möchte, ist, dass es einen völlig gut spezifizierten Algorithmus zum Übersetzen des "Linienelements" gibt - also des Ausdrucks für$ds^2$in Bezug auf die Koordinaten – in ein mathematisches Objekt namens Krümmungstensor, das in zwei Dimensionen auf nur eine einzige Zahl reduziert wird, die als Krümmung bekannt ist.

Hier ist mein Versuch, hoffentlich können die Leute aus meinen Fehlern oder so etwas lernen ( bitte Kommentare hinterlassen, damit ich mehr lernen kann)

Aus Vorschlag konzentriere ich mich auf 2 + 0-Raum. Der parallele Transport klingt so, als ob er aus den Christoffel-Symbolen gewonnen werden kann, und der Riemann-Krümmungstensor wiederum kann aus den Christoffel-Symbolen berechnet werden. Also werde ich versuchen, diese hier zu berechnen (in blutigen Details, um ein Gefühl für die Berechnungen zu bekommen).

Nehmen Sie ein flaches Stück Papier, schneiden Sie a$\alpha$Grad Keil aus ihm heraus und Stück die Kanten zusammen. Dies ist der „Kegelraum“ für diese Diskussion.

Das Linienelement kann geschrieben werden als:

$g_{00}=1,g_{11}=r^2k^2$

Das Christoffel-Symbol ist (definiert als?):

Die einzigen Nicht-Null-Komponenten sind:

Die Reimann-Krümmung ist (definiert als?):

Betrachten Sie die (0,0,?,?)-Komponenten

Betrachten Sie die (0,1,?,?)-Komponenten

Ich habe keine Lust, die (1,0,?,?)-Komponenten auszuarbeiten. Also überspringe ich die Doppelprüfung und vertraue der Antisymmetrie einfach auf (0,1,?,?).

Betrachten Sie die (1,1,?,?)-Komponenten

Also in diesem Koordinatensystem alle$dimension^4$Komponenten des Riemann-Tensors sind Null. Das ist also tatsächlich flacher Raum.

Betrachten wir nun den parallelen Transport. Ein Vektor wird parallel transportiert, wenn die kovariante Ableitung Null ist.

Für einen unendlich kleinen Schritt$dx^b$, die neuen Komponenten$\tilde{\lambda}^a$wird sein

Anstelle eines normalen Integrals, das wie eine Summe unendlich kleiner Teile ist, brauchen wir also etwas, das eine Reihe unendlich kleiner Multiplikationen entlang des Pfads durchführt. Anscheinend wird dies als Produktintegral bezeichnet .

Also, wenn wir einen Weg haben$s^b(t),0\le t\le 1$, dann denke ich

Ich würde gerne den vorherigen Kommentar von Lubos überprüfen können, dass dies nur die Identität für geschlossene Pfade ist, es sei denn, sie geht um den Ursprung herum. Ich bin mir aber nicht sicher, wie ich weitermachen soll.

Basierend auf Teds Kommentar, dass das Winkeldefizit irgendwie mit einem Durchschnitt der eingeschlossenen Krümmung zusammenhängt, gibt es vielleicht eine Art Gauß-Bonnet-artige Methode, um dies zu tun - ein Pfadintegral mit einem Integral über einen durch den Pfad begrenzten Bereich in Beziehung zu setzen.

Um die Krümmung und die geodätischen Gleichungen für die konische Raumzeit explizit zu berechnen, benötigen Sie eine explizite Metrik.

Die Metrik$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\phi^{2}$beschreiben eine konische Raumzeit im Definitionsbereich der Koordinaten$(r,\phi)\in (0,\infty)\times [0,2\pi-\alpha)$.

Sie können feststellen, dass diese Metrik eine flache Raumzeit im Definitionsbereich beschreibt, aber den "singulären" Punkt nicht enthält$(0,0)$. Die Berechnungen, die Sie durchgeführt haben, beweisen diese Tatsache.

Um die Koordinaten zu erweitern, können wir den Winkel neu skalieren, um zu Standard-Polarkoordinaten zu wechseln$\phi=k\alpha$wo wissen, das metrische Element ist gegeben durch:$ds^{2}=dr^{2}+kr^{2}d\alpha^{2}$.

Die Änderung vornehmen$x=r\cos(\alpha),y=r\sin(\alpha)$Um zu kartesischen Koordinaten zu wechseln, haben wir einen Bereich von Koordinaten, die insgesamt definiert sind$\mathbb{R}^{2}$Diese Koordinaten beinhalten also die Spitze des Kegels.

Die resultierende Metrik ist gegeben durch:

$ds^{2}=\frac{1}{2}(1 + k^{2} ) (dx ^{2} + d y ^{2})+\frac{1}{2}(1-k^{2})\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}(dx^{2}-dy^{2})+(1-k^{2})\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}dxdy$

Wir haben den euklidischen Raum, wenn$k=1$, aber beachte das für$k\neq1$Die Metrik ist nicht stetig in$(0,0)$aber endliche Grenzen zulassen$x,y\rightarrow 0$.

Wenn die Metrik nicht stetig ist, sind Verbindung und Krümmung keine stetigen Funktionen. Wenn Sie genau beschreiben möchten, um welche Art von Objekten es sich bei Krümmung und Verbindung handelt, müssen Sie Ihren Begriff der Ableitung erweitern, um Objekte mit geringer Differenzierbarkeit zu behandeln. Dies führt zur Theorie der Verteilungen und Sobolev-Räume.

Im Grunde genommen besteht der nächste Schritt vom Berechnungspunkt aus darin, die Krümmung durch ein Regularisierungsverfahren anzunähern. Dies ist vom Standpunkt der Analyse und Geometrie aus.

Wenn Sie jedoch das Gauß-Bonnet-Theorem in zwei Dimensionen betrachten (beachten Sie, dass Sie in der Metrik vorschlagen, dass die ungerade Dimensionalität das Argument nutzlos macht):

$\frac{1}{2\pi}\int_{S} KdS=\chi(M)-\frac{1}{2\pi}\int_{\partial S} k_{g}dl$

Wo$K$ist die im Inneren von enthaltene Gaußsche Krümmung${\partial S}$,$k_{g}$ist die geodätische Krümmung, und$\chi(M)$ist die Euler-Charakteristik.

Wenn wir eine Schleife um die Spitze machen, wissen wir:$\chi(M)=1$Da die Region homöomorph zur Scheibe ist, ist die geodätische Krümmung eines Kreises außerhalb des Kegels dieselbe wie im euklidischen Raum$k_{g}=\frac{1}{r}$und das$dl=rkd\alpha$.

Wir erhalten dann:$\frac{1}{2\pi}\int_{S} KdS=1-k$was die nicht verschwindende Krümmung im Inneren zeigt$\partial U$. Fakt ist, dass$supp(K)=\{0\}$

Beachten Sie, dass das Argument bestehen bleibt, wenn Sie Kurven als homolog zu einem Kreis betrachten.

Hier ist eine rein geometrische Art, darüber nachzudenken

Edward sagt, es sei möglich, einen Keil aus einer flachen Raumzeit zu schneiden und die Kanten zusammenzukleben. In meinen Augen sieht das also aus wie ein Papierkegel.

Ein Kegel ist genau deshalb flach, weil er durch Aufrollen eines flachen Blechs erzeugt werden kann. Beim Aufrollen bleibt die Metrik auf der Innenseite des Bogens erhalten (nicht an den Rändern, an denen der Keil ausgeschnitten wurde). Das Ändern der Metrik erfordert Strecken oder topologische Änderungen. Beim Aufrollen wird nicht gedehnt. Daher ist die intrinsische Geometrie des Konus als die Geometrie des flachen Blechs außer an der Naht definiert. Da ein Kegel rotationssymmetrisch ist, bedeutet dies, dass er überall außer der Spitze flach ist. Die Spitze bleibt durch Drehungen um die Achse erhalten, sodass sie keinem anderen Punkt entspricht, an dem bekannt ist, dass die Geometrie flach ist.

Daraus folgt sofort, dass paralleler Transport auf dem Kegel paralleler paralleler Transport auf der flachen Platte ist, außer an der Naht, da paralleler Transport in Bezug auf die Metrik definiert ist (die Levi-Civita-Verbindung). Transport über die Naht ist Transport über den fehlenden Keil des Flachblechs. Um die Kontinuität beim Transportieren über den fehlenden Keil zu wahren, ist es notwendig, eine Drehung um einen Winkel auszuführen, der gleich dem des fehlenden Keils ist. Um zu sehen, warum man darüber nachdenkt, Basisvektoren des Polarkoordinatensystems über die Naht zu transportieren.

Der parallele Transport um die Spitze herum erfordert das Überqueren der Naht und daher das Anwenden der obigen Drehung. Diese Drehung ist das Winkeldefizit des Pfads. Der Winkel ist wegunabhängig, da er durch den fehlenden Keil bestimmt wird. Dies gilt insbesondere auch für beliebig kleine Wege um die Spitze herum. Daher konzentriert sich die gesamte Krümmung auf die Spitze.

Video: Leonard Susskind demonstriert dies anhand eines echten Blatt Papiers

Der intuitivste Weg, dies auszudrücken, besteht meines Wissens darin, zunächst die Grenze des Verhältnisses des Umfangs eines Kreises um die Singularität zu seinem Radius zu nehmen, wobei der Radius gegen Null geht. Dieses Verhältnis muss sein$2\pi$für eine Mannigfaltigkeit, und das konische Defizit zeigt an, dass die Raumzeit im Mittelpunkt des Kreises singulär ist. Weitere Einzelheiten finden Sie im Artikel Ellis, GFR und Schmidt, BG (1977). Singuläre Raumzeiten. Allgemeine Relativitätstheorie und Gravitation, 8(11):915.