Warum Hausdorff- und Paracompact-Verteiler in GR?

Sie können keine Berechnungen an einer Mannigfaltigkeit durchführen, die nicht Hausdorff und parakompakt ist. Wenn Sie nicht rechnen können, ist Physik mit Feldgleichungen ziemlich sinnlos.

Was Ihre erste Frage betrifft, formulieren Sie sie bitte deutlicher.

Ohne die Hausdorff-Eigenschaft versagt die Eindeutigkeitseigenschaft von Folgengrenzen und impliziert viele negative Konsequenzen für einige Ergebnisse bezüglich der abstrakten Eindeutigkeit, zB von Lösungen von Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten. Darüber hinaus haben Sie ohne Hausdorff keine glatten Hutfunktionen, die nützlich sind, um lokale glatte Tensorfelder auf globale glatte zu erweitern. Die Definition von Tangentenvektoren als Ableitungen über den Ring global definierter glatter Funktionen erweist sich als etwas umständlich (auch wenn dies möglich ist und beispielsweise in der komplexen algebraischen Geometrie oder auch für reelle analytische Mannigfaltigkeiten effektiv verfolgt wird).

Schließlich können Sie ohne Parakompaktheit keine glatten Partitionen der Einheit konstruieren, und es ist schwierig, einen Integralbegriff zu definieren.

(geändert nach Ricky Demers Kommentar)

Es ist wichtig zu wissen, dass ein Hausdorff, zweitens abzählbar, lokal homöomorph ist$\mathbb R^n$Der Weltraum ist parakompakt. Umgekehrt ein Hausdorff, lokal homöomorph zu$\mathbb R^n$, parakompakter Raum ist zweitens abzählbar genau dann, wenn seine Zusammenhangskomponenten abzählbar sind (also insbesondere wenn der Raum zusammenhängend ist).

Um die Antwort von Jerry Schirmer zu ergänzen : Roger Penroses "Road To Reality" enthält eine wirklich großartige Diskussion mit Skizzen in Abschnitt 12.2 dessen, was Nicht-Hausdorff bedeuten würde. Ich würde dir wirklich empfehlen, es zu lesen und darüber nachzudenken. Wenn das Hausdorff-Axiom nicht erfüllt ist, würde eine "Verzweigung" am Rand eines Übergangsbereichs entstehen, wo sich "Koordinatenflecken" ( dh Diagramme) überlappen. Unterschiedliche Punkte, die durch unteilbare offene Mengen "zusammengeschweißt" sind, könnten Sprünge zwischen unterschiedlichen Punkten "kontinuierlich" machen, und der Begriff der "Topologie" könnte nicht mit dem der einzelnen überlappenden Flecken übereinstimmen. Das heißt, die Diagramme sind Homöomorphismen (Diffeomorphismen in der Relativitätstheorie) zwischen offenen Nachbarschaften des Ursprungs in$\mathbb{R}^N$und Teilmengen der Mannigfaltigkeit und damit, wenn wir die lokale Topologie verleihen$\mathbb{R}^N$auf jedem Patch einzeln durch die Koordinatenfunktion macht die Topologie jedes Patches separat es individuell Hausdorff, was zu einer "Inkonsistenz" führen würde, wenn die Patches auf eine Weise zusammengeklebt würden, die sie nicht-Hausdorff macht. Wenn Sie versuchen würden, Kalküldefinitionen für ein solches Tier zu erstellen, kann ich nicht sehen, wie Sie dies tun würden, ohne eine Art Äquivalenzbeziehung einzuführen, um alle unterschiedlichen Punkte in unteilbaren offenen Mengen als "gleich" zu betrachten: mit anderen Worten, Sie würden am Ende das Hausdorff-Axiom erzwingen, bevor Sie Ihre ernsthafte Arbeit begonnen haben. Nun, das könnte einfach ein Mangel an mathematischer Vorstellungskraft meinerseits sein, aber ich glaube nicht, dass ich jemals Mannigfaltigkeiten gesehen habe, mit denen ernsthaft ohne das Hausdorff-Axiom gearbeitet wurde, obwohl ich einige Autoren gesehen habe, die Dinge sagten wie (anmaßend IMO) "