Homotopiebeweis der fehlenden Schieferung der Gödel-Metrik

Ich sehe nicht, wie man das mit Mod 2 Schnittpunkt macht, aber ich glaube, es kann noch einmal gemacht werden$\mathbb{Z}$auf die folgende Weise.

Seit$\mathbb{R}^4$ist einfach zusammenhängend, zeitlich orientierbar, dh wir können an jedem Punkt kontinuierlich die positive Hälfte des Lichtkegels wählen. In ähnlicher Weise ist es räumlich orientierbar: Jede dreidimensionale raumähnliche Untermannigfaltigkeit ist orientierbar.

Nehmen Sie nun ein Blatt der vermuteten Folierung, nennen Sie es$L$, und eine geschlossene zeitähnliche Kurve$\gamma$. Der vorherige Absatz impliziert dies$\gamma$schneidet$L$überall "positiv". Die Gesamtzahl der Schnittpunkte mit Vorzeichen ist eine Homotopie-Invariante, wenn$L$ist eine echte Untermannigfaltigkeit. Es ist eine Standard-Tatsache, wenn$L$ist kompakt und ohne Begrenzung, aber es funktioniert auch, wenn$L$genau richtig ist (dann hat die normale Exponentialkarte die guten Eigenschaften).

Seit$\mathbb{R}^4$einfach zusammenhängend ist, folgt daraus$L$kann sich nicht schneiden$\gamma$überhaupt (alle Schnittpunkte sind positiv und können sich daher nicht gegenseitig aufheben). Ein Widerspruch, wenn wir einen richtigen finden können$L$schneiden$\gamma$.

Ich weiß nicht, wie ich die Korrektheit behaupten soll (es könnte aus der Existenz der Lorentzschen Metrik folgen), aber sie ist für diese Art von Argumentation unerlässlich. Siehe Reeb-Foliation , dort haben Sie eine geschlossene Kurve, die ein nicht richtiges Blatt einmal schneidet - die Schnittzahl ist keine Homotopie-Invariante.

Bearbeiten: Der vorherige Versuch, "mod 2" zum Laufen zu bringen, war falsch.

Was begründet die Annahme, dass eine geschlossene zeitartige Kurve eine raumartige Scheibe ungerade oft kreuzen muss?

Es ist keine Annahme. Und das gilt nicht für alle Mannigfaltigkeiten. In Betracht ziehen$\mathbb S^2\times\mathbb R^2$als Teilmenge von$\mathbb R^6,$oder nur

Dann gibt es eine raumartige Oberfläche$a=1.$

Und es gibt eine geschlossene zeitartige Kurve, die sie zweimal kreuzt, nämlich die Kurve

Warum ist das also anders als Gödels Lösung? Gödels Lösung ist homöomorph zu$\mathbb R^4$so dass Sie sich eine Kurve vorstellen können$\mathbb R^4$das an der gleichen Stelle beginnt und aufhört. Noch besser kann man es in die One-Point-Compactification stecken und identifizieren$\mathbb R^4$als dieser Teil von$\mathbb S^4$ohne Nordpol. Dann ist der CTC eine Kurve rein$\mathbb R^4$oder eine Kurve hinein$\mathbb S^4$der den Nordpol vermeidet.

Wenn Sie nun eine 3D-Oberfläche in Gödels Mannigfaltigkeit haben, gibt es eine entsprechende 3D-Oberfläche$\mathbb R^4$oder eine Oberfläche in$\mathbb S^4$(und die Oberfläche kann zum Nordpol gehen, wenn es sonst so aussieht, als hätte sie eine Grenze, da Sie später nur Verformungen berücksichtigen, die den Nordpol vermeiden, sodass es keine Rolle spielt, ob die Oberfläche dort ist oder nicht).

Sie haben also einen anderen Verteiler mit einer geschlossenen gekrümmten und einer 3D-Oberfläche. Aber die neue Mannigfaltigkeit ist homöomorph zu$\mathbb R^4$und deshalb muss eine Kurve, die durch die 3D-Oberfläche geht, diese ungerade oft kreuzen. Und selbst dann liegt es auch daran, dass die ursprüngliche Kurve, da sie überall zeitartig war, nicht tangential zur ursprünglichen Oberfläche sein kann (da die Oberfläche überall raumartig war) und daher die alten und neuen Kurven die alten bzw. neuen Oberflächen durchdringen müssen.

Wir gehen also davon aus, dass, wenn eine Kurve durch eine Oberfläche geht und niemals tangential ist (also lokal durch sie hindurchgeht), und Sie drin sind$\mathbb R^4$global und die 3D-Oberfläche hat keine Grenze, dann kreuzt die Kurve die Oberfläche ungerade oft. Nun, es muss eine ungerade Anzahl von Malen durchbohren, wenn sie mindestens einmal durchbohren.

Aber welcher Satz sagt das? Jetzt geht es darum$\mathbb R^4$es mag also wie eine reine mathematische Frage erscheinen. Aber mathematische Theoreme sind danach organisiert, welche Techniken verwendet werden, um sie zu beweisen, und so können Sie Theoreme haben, die davon ausgehen, dass Ihre Mannigfaltigkeit glatt ist (und$\mathbb R^4$ist glatt). Und während die ursprüngliche 3D-Oberfläche in Gödels Universum eine differenzierbare Oberfläche hat (sie war raumartig, hatte also Tangenten), macht ein bloßer Homöomorphismus die entsprechende 3D-Oberfläche nicht aus$\mathbb R^4$glatt. Wenn Sie also zufällig ein Buch über die Topologie der Morsetheorie in die Hand genommen haben, ist es nicht einer der einfacheren Theoreme, eine beliebige 3D-Oberfläche zu haben. Sogar eine endliche Anzahl von Kreuzungen zu erhalten, ist eine Sache, die Sie beweisen müssen, ganz zu schweigen davon, dass sie ungerade ist, wenn sie nicht Null ist.

Aber wenn Sie davon ausgegangen sind, dass Ihre Raumzeit glatt war (einige Leute tun dies kategorisch, und physikalisch ist es falsch, dies zu tun, zwingt die Annahme von Glätte manchmal eine Mannigfaltigkeit, geschlossene Zeit wie Kurven zu entwickeln, wenn Einsteins Gleichung dies sonst nicht erforderte. Und für mich Anzunehmen , dass Sie Zeitreisen haben, wenn es nicht erforderlich ist, ist fast das absolut Schlimmste, was Sie tun können. Genauso wie die Verwendung des Raums, den ich oben angegeben habe, anstelle eines Raums mit einer linearen Zeit zu 100% und als bloße Annahme völlig inakzeptabel wäre). Wenn Sie dann mit der Annahme beginnen, dass der ursprüngliche Verteiler und die Oberfläche glatt sind, könnte das Ergebnis genau dort liegen. Daher ist mir nicht klar, welche Annahmen Sie treffen wollen.

Zu Recht sollte man nicht davon ausgehen, dass Gödels Universum glatt ist, man sollte es beweisen, wenn man es glaubt. Aber das ist noch ein weiteres Theorem, das Sie brauchen, eines, das kein rein mathematisches Theorem ist.