Stiche in den Schleifenraum zeitähnlicher Kurven

In Smiths Artikel über Homotopiegruppen für Lorentz-Mannigfaltigkeiten baut er den Schleifenraum aller zeitähnlichen Schleifen auf folgende Weise auf:

• Betrachten Sie alle stückweise kontinuierlichen zeitartigen Kurven, die an einem Punkt beginnen und enden$x$. Dazu gehören zeitartige Kurven mit$q$Änderungen in der Zeitorientierung (der Tangentenvektor des Endes eines Segments hat eine entgegengesetzte Zeitorientierung zum Anfang des nächsten)
• Schließen Sie auch Stiche basierend auf in die Gruppe ein$x$, die aus beliebigen Pfaden bestehen$\gamma$auf folgende Weise: Ein Stich ist eine Kurve der Form$\gamma \ast \gamma^{-1}$, mit$\gamma(0) = x$.
• Fügen Sie Stiche in Pfade ein. Für einen Weg$\gamma$, betrachten Sie einen Punkt$y$In$\gamma$, und zerlegen Sie es in zwei Pfade$\gamma = \gamma_+ \ast \gamma_-$, mit$\gamma_+(1) = y$. Das Einfügen eines Stachels$f \ast f^{-1}$bei$y$Ist$\gamma^* = \gamma_+\ast f\ast f^{-1} \ast \gamma_-$.
• Der konstante Weg ist auch darin enthalten,$e(\lambda) = x$

Der Schleifenraum wird dann durch all diese Elemente und die Pfadkomposition definiert$\ast$hat eine Gruppenstruktur.

Die Motivation für die Angabe von Stichen scheint zu sein, dass es die Gruppenstruktur zulässt (obwohl das auch nicht klar gesagt wird), aber das scheint nicht richtig zu sein, da der konstante Pfad und die zeitartigen Kurven dafür ausreichend zu sein scheinen. Was ist der Zweck des Hinzufügens von Stichen zum Schleifenraum? Alle beteiligten Kurven entsprechen ohnehin einer stachellosen Kurve.