Wir alle wissen, dass die Existenz von Spinorfeldern impliziert, dass die Raumzeit zeitlich orientierbar sein muss. Dass die Raumzeit zeitlich orientierbar ist, ist also eine notwendige Bedingung für die Existenz von Spinorfeldern.
Geroch, R. (1968). Spinorstruktur der Raumzeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie I, J. Math. Phys. 9, 1739-1744 bewiesen dieses Theorem: In einer nicht kompakten Raumzeit ist die Existenz von 4 kontinuierlichen Vektorfeldern, die an jedem Punkt eine Minkowski-Tetrade bilden, notwendig und ausreichend für die Existenz von Spinorfeldern.
Meine Fragen:
Gibt es für kompakte Raumzeiten einige notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz von Spinorfeldern?
Für allgemein -dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeiten, was sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Existenz von Spinorfeldern?
Advanced Classical Field Theory (2009) von Giachetta, Mangiarotti, Sardanashvily Bemerkungen auf S. 248:
- Eine nicht-kompakte Weltmannigfaltigkeit lässt genau dann eine Dirac-Spinorstruktur zu, wenn sie parallelisierbar ist.
- Für einen kompakten Weltverteiler , ihre Euler-Charakteristik und die zweite Stiefel-Whitney-Klasse muss Null sein, und seine erste Pontryagin-Zahl muss ein Vielfaches von 48 sein.
und gibt die Referenzen an
Geroch, R. (1968). Spinorstruktur der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie, J. Math. Phys. 9, 1739.
Wiston, G. (1974). Themen zur Raum-Zeit-Topologie, Int. J.Theor. Phys. 11, 341.
Weltverteiler werden als orientierbar, einfach verbunden und 4-dimensional angenommen, daher müssen Sie sich die Referenzen ansehen, um zu sehen, ob dies für beliebige Dimensionen gilt.