Ein Satz nach Hodge: Hawking/Ellis

Meine Lieblingsreferenz für diese Art von Dingen, die Physik und Geometrie überspannen, ist Frankels "Die Geometrie der Physik". Im Kapitel über harmonische Formen finden Sie das, was er einfach als „Hodge's Theorem“ bezeichnet. Es ist etwas allgemeiner als Sie brauchen, weil es allgemein gilt$p$-forms, und Sie brauchen nur Funktionen ($0$-Formen). Also werde ich es auf Funktionen spezialisieren.

---

Satz von Hodge (für Funktionen): Let$M^n$sei eine geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann die Poisson-Gleichung

$$\begin{equation} \Delta \alpha = \rho \tag{A} \end{equation}$$ (wo$\alpha$und$\rho$sind reellwertige Funktionen, und$\Delta$der Laplace-Operator ist) hat eine Lösung$\alpha$dann und nur dann, wenn$\rho$Mittelwert hat$0$an$M^n$: $$\begin{equation} \int_M \rho\ \mathrm{vol}^n = 0. \tag{B} \end{equation}$$

---

Um nun zwischen Frankels Schreibweise und der von Hawking & Ellis zu übersetzen, sollten wir ^{† ersetzen}

$$\begin{align} M &\leftrightarrow \partial \mathscr{B}, \\ \alpha &\leftrightarrow y, \\ \rho &\leftrightarrow \mathrm{const} - \left( p_{b ; d} \hat{h}^{bd} - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right). \\ \end{align}$$ Beachten Sie auch, dass Hawking & Ellis eine explizitere Notation für den Laplace-Operator verwenden $$\begin{equation} \Delta y \leftrightarrow y_{;bd} \hat{h}^{bd}. \end{equation}$$ Wenn wir nun diese Übersetzungen einsetzen, können wir die Poisson-Gleichung umschreiben [Gl. (A)] als $$\begin{equation} y_{;bd} \hat{h}^{bd} = \mathrm{const} - \left( p_{b ; d} \hat{h}^{bd} - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right). \tag{A'} \end{equation}$$ Der Satz von Hodge sagt uns also, dass es möglich ist, eine Funktion zu finden$y$die diese Gleichung genau dann erfüllt, wenn das Integral der rechten Seite von Gl. (A') vorbei$\partial \mathscr{B}$ist Null.

Alternativ könnten wir Gl. (B) und sagen, dass eine Funktion$y$existiert, um Gl. (A') genau dann, wenn

$$\begin{equation} \int_{\partial \mathscr{B}} \mathrm{const}\ \mathrm{vol}^n = \int_{\partial \mathscr{B}} \left( p_{b ; d} \hat{h}^{bd} - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right)\ \mathrm{vol}^n. \tag{B'} \end{equation}$$ Aber wir müssen den Wert von "$\mathrm{const}$“, also können wir es einfach auf das setzen, was wir brauchen, um diese Gleichung wahr zu machen.

Hawking & Ellis weisen darauf hin$p_{b ; d} \hat{h}^{bd}$ist eine reine Divergenz. Sie können also den Satz von Stokes verwenden, um sein Integral umzuwandeln$\partial \mathscr{B}$in ein Integral über den Rand von$\partial \mathscr{B}$. Aber die Grenze einer Grenze ist immer leer, ^†† , so dass das Integral einen Wert hat$0$. Daher verschwindet dieser Term, wenn Sie das Integral auf der rechten Seite von Gl. (B'). Der Satz besagt also nun, dass eine Lösung für$y$existiert genau dann, wenn

$$\begin{equation} \mathrm{const}\ \int_{\partial \mathscr{B}} \mathrm{vol}^n = \int_{\partial \mathscr{B}} \left( - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right)\ \mathrm{vol}^n. \end{equation}$$ Das Integral auf der linken Seite ist nur die Fläche von$\partial \mathscr{B}$, und Hawking & Ellis lassen die Volumenform ebenfalls implizit, sodass wir dies umschreiben können als $$\begin{equation} \mathrm{const} = \frac{\int_{\partial \mathscr{B}} \left( - R_{ac} Y^{a}_{1} Y^{c}_{2} + R_{adcb} Y^{d}_{1} Y^{c}_{2} Y^{a}_{2} Y^{b}_{1} \right)} {\mathrm{Area}}. \tag{C} \end{equation}$$ Es wird angenommen, dass die Fläche endlich und nicht Null ist und notwendigerweise nicht negativ, sodass – wie Hawking & Ellis behaupteten – das Vorzeichen der Konstante tatsächlich durch dieses Integral bestimmt wird.

Nun, eine mathematisch-klassige Art, die Schlussfolgerung zu formulieren, wäre, dass gegeben$p_a$,$Y_1^b$,$Y_2^c$,$R_{ijkl}$, und$\hat{h}^{mn}$, kann man eine Konstante wählen [gegeben durch Gl. (C)], so dass eine Funktion existiert$y$das löst Gl. (EIN'). Hawking & Ellis ändern die Betonung, um sie ihren Zielen anzupassen, aber die Aussage ist auch wahr: Es gibt eine$y$so dass die ersten vier Terme in der Gl. (1) addieren sich zu einer Konstanten, deren Vorzeichen durch das Integral auf der rechten Seite von Gl. (C).

---

^† Beachten Sie, dass ich die weggelassen habe$p'^a p'_a$Term in Gl. (1) aus der ursprünglichen Frage; dieser Begriff beinhaltet Derivate von$y$außer dem Laplace-Operator, daher gilt der Satz von Hodge nicht für sie. Beachten Sie jedoch auch, dass Hawking & Ellis nicht wirklich behaupten, dass es in einer Konstante enthalten sein sollte. Also ist es hier eigentlich nicht relevant.

^†† Nur zur Verdeutlichung, die Grenze einer Grenze ist immer leer , wenn es um Mannigfaltigkeiten geht . Dies gilt nicht für allgemeinere topologische Räume, da das Wort "Grenze" dort etwas anderes bedeutet .