Entstehen neue Gravitationseffekte in höheren Dimensionen?

Effekte wie Gravitationswellen und die Krümmung rund um schwarze Löcher treten nicht in Raumzeiten mit einer zeitähnlichen Koordinate und zwei raumähnlichen Koordinaten auf. Dies liegt daran, dass die Einstein-Feldgleichungen den Riemann-Tensor in weniger als vier Dimensionen vollständig einschränken.

Gibt es andere interessante Effekte, die in vier räumlichen Dimensionen plus einer zeitähnlichen Dimension existieren, die in unserem (3,1)-Universum verschwinden? Oder ist der qualitative Unterschied zwischen (2,1) und (3,1) ausschließlich auf den Übergang zwischen einem vollständig eingeschränkten Riemann-Tensor und einem mit Freiheit zurückzuführen?

Ich bin nicht qualifiziert, eine umfassende Antwort zu schreiben, aber meines Wissens unterscheiden sich die Fälle (2,1) und (3,1) aufgrund des Fehlens dynamischer Freiheitsgrade in (2,1). Das heißt, höherdimensionales GR ist dem (3,1)-Fall ziemlich ähnlich, außer dass die Anzahl der Freiheitsgrade (Gravitonenpolarisationen, wenn Sie möchten) größer als 2 ist.

Antworten (3)

I) Für den Anfang, für höherdimensionale GR mit N ≥ 5 Raumzeitdimensionen, muss ein Ereignishorizont (der immer die Kodimension 2 hat) nicht homotop zu einer Sphäre sein S N − 2 . Bsp für N = 5 , es gibt auch schwarze Ringe .

II) Andererseits niedrigdimensionales GR mit N ≤ 3 Dimensionen der Raumzeit

Und die Topologie dieser schwarzen Ringe ist festgelegt: Es gibt keine Knoten im 4+-dimensionalen Raum. Nur eine Beobachtung.
Es scheint auch, dass schwarze Ringe instabil sind und zu nackten Singularitäten führen könnten, die das Universum wirklich nicht mag.
Korrektur zur Antwort (v2): Das obige Wort Ereignishorizont sollte durch einen räumlichen Ausschnitt des Ereignishorizonts ersetzt werden.

Ein physikalischer Weg, um zu sehen, dass es in der Raumzeitdimension keine Gravitationswellen gibt D   =   3 ist mit den Freiheitsgraden einer Welle. Ein elektromagnetisches oder anderes Eichfeld hat eine elektrische E → und Magnetfeld B → . In einer quellenlosen Region Diese Felder sind in einer elektromagnetischen oder Eichfeldwelle orthogonal. Wenn Sie jedoch nur zwei räumliche Dimensionen haben, haben Sie nicht genügend Dimensionen, damit sich die Welle ausbreiten kann. Die alte Rechte-Hand-Regel für die E → Und B → Felder und die Richtung oder Ausbreitung k → bedeutet, dass Sie nicht genügend räumliche Dimensionen für Wellen haben. Dies bedeutet, dass Sie statische Feldkonfigurationen haben, was eine topologische Feldtheorie ist.

Das gilt auch für Gravitationswellen, die in einem schwachen Feld eine Begrenzung der störenden metrischen Elemente erfordern H + + Und H × × für zwei Polarisationsrichtungen. Dies bedeutet, dass Sie spurlose Feldtensoren haben E ich J Und B ich J für die elektrischen und magnetischen Analoga des Gravitationsfeldes in der räumlichen Mannigfaltigkeit, eingebettet in die Raumzeit. Wenn Sie wiederum nur zwei räumliche Dimensionen haben, "gehen Ihnen die Dimensionen aus" für die Wellenausbreitung. Mathematischer manifestiert sich dies im Verschwinden des Weyl-Tensors. Es gibt jedoch einen parallelen Tensor mit konformer Struktur, der als Cotton-Tensor bezeichnet wird . Der Weyl-Tensor definiert die konformen Eigenschaften der Raumzeit, und der Cotton-Tensor tut dasselbe für niederdimensionale Raumzeiten.

Für Abmessungen größer als 4 Wir können über Schwarze Löcher mit der Gauß-Theorie in einer Newtonschen Umgebung nachdenken. Wenn wir eine räumliche Oberfläche haben Σ N mit Abmessung N größer als 2 das Gravitationsfeld innerhalb einer Gaußschen Fläche S eine Region umschließen v   ⊂   Σ N wir haben

∫ S F ⋅ D A   =   ∫ v ∇ ⋅ F D v   =   4 π G ρ ,
für ρ die Massendichte. Für drei Dimensionen ist der Bereich, der die Quelle umschließt, a 2 -Sphäre und wir erhalten die Newtonsche Gravitation. Im Allgemeinen erhalten wir eine Form dieses Feldes, die als erscheint
F   =   − k R N − 1 .
und das Potenzial, das das Feld gibt F   =   − ∇ U hat ein Formular
U   =   − k R N − 2 .
Die metrischen Elemente der Schwarzschild-Metrik G T T   = G R R − 1   =   ( 1   −   2 M / R werden entsprechend mit modifiziert G T T   =   ( 1   −   C / R N − 2 ) . Dies ist zugegebenermaßen eher heuristisch und erfordert eine strengere Ableitung.

Nur um sicherzugehen, dass ich verstehe, was Sie tun, ist dies eine Ableitung dessen, wie die Newtonsche Schwerkraft aussehen würde, gefolgt von der Annahme, dass GR etwas ähnlich aussehen würde?
Rechts. GR in höheren Dimensionen in einer schwachen Feldgrenze wird eine höherdimensionale Form der Newtonschen Gravitation sein. Um dies luftdichter zu machen, ist eine vollständigere Analyse erforderlich, aber die Ergebnisse sind sehr ähnlich.

Es gibt viele, viele qualitativ neue Dinge, die in höheren Dimensionen auftauchen. Wie QMechanic erwähnt, müssen Ereignishorizonte nicht topologisch kugelförmig sein. Es ist auch bekannt, dass generische Anfangsbedingungen zu nackten Singularitäten führen können, sodass die Hypothese der kosmischen Zensur versagt. Ich glaube, dass schwarze Löcher mit Haaren auch in höheren Dimensionen existieren.

Was für Haare? Hast du eine Quelle?
@NoethersOneRing Hier ist einer: arxiv.org/abs/1311.6065
Sehr cool! Spielt es eine Rolle, dass die Raumzeiten asymptotisch AdS sind, oder würden sie auch in asymptotisch flachen Raumzeiten existieren?
@NoethersOneRing Keine Ahnung, das liegt über meiner Gehaltsstufe. (PS Upvote nicht vergessen ;-) )
Entstehen neue Gravitationseffekte in höheren Dimensionen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v