Formel zur Berechnung der Frequenz von Gravitationswellen, die von zwei Körpern inspiral emittiert werden?

In führender Ordnung gehorcht die Winkelfrequenz der radialen Bewegung in einer binären Inspirale der Gleichung

$$\frac{d \omega}{dt} = \frac{96}{5} \left( \frac{G \mathcal{M}}{c^3} \right)^{5/3} \omega^{11/3}$$ Wo $\mathcal{M}$ist die sogenannte Chirp-Masse, definiert durch $$\mathcal{M} = \left( \frac{m_1 m_2}{(m_1 + m_2)^{1/3}} \right)^{3/5}.$$

Die Frequenz des Gravitationswellensignals ist doppelt so groß wie die Orbitalfrequenz. Das heißt, die beobachtete Frequenz des Signals ist

$$\nu = 2 \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\omega}{\pi}.$$ Sie können diese Gleichungen verwenden, um die Chirp-Masse des Systems abzuschätzen $\mathcal{M}$verwenden $\nu$Und $\dot{\nu}$, oder umgekehrt. Bei einer vernünftigen Anfangsbedingung können Sie nach auflösen $\omega(t)$oder $\nu(t)$analytisch und finden Sie die Entwicklung der Signalfrequenz.

Beachten Sie, dass die Differentialgleichung für$\omega$impliziert, dass$\omega$steigt monoton ($\dot{\omega} > 0$). Diese Gleichung sagt das auch voraus$\omega$in endlicher Zeit divergieren, was dem Kollisionsereignis und dem Ende der Orbitalbewegung entspricht.