Winkeldefizit

Wenn man mit einem flachen Stück Papier beginnt, einen Keil entfernt und das Papier zusammenklebt, erhält man einen Kegel. Der Winkel des entfernten Keils wird als "Winkeldefizit" bezeichnet.

Wenn dies nun in 3 räumlichen Dimensionen durchgeführt wird, indem ein "Keil" entlang einer ganzen Linie entfernt wird, gibt es in ähnlicher Weise ein Winkeldefizit um den Liniendefekt herum. Unter Verwendung von Zylinderkoordinaten können wir die Raumzeitmetrik schreiben als:
G μ v = D T 2 − D z 2 − D R 2 − R 2 D θ 2
mit 0 ≤ θ ≤ 2 π − Δ ϕ und die Randbedingung, dass θ = 0 ist äquivalent zu θ = 2 π − Δ ϕ , Wo Δ ϕ ist das Winkeldefizit. Dieser Liniendefekt wird manchmal als "kosmische Saite" bezeichnet. In GR kann dies unter bestimmten Bedingungen auch verwendet werden, um die Raumzeit außerhalb eines zylindersymmetrischen Objekts zu beschreiben ( http://prd.aps.org/abstract/PRD/v39/i4/p1084_1 ).

Neben der Änderung der Randbedingung z θ , das sieht genauso aus wie eine flache Raumzeit. Die Raumzeit ist also überall lokal flach (die Riemann-Krümmung verschwindet), außer am Liniendefekt, wo sie undefiniert ist. Ohne den Defekt direkt zu beobachten, kann seine Gravitationspräsenz also nur in einem topologischen Sinne gesehen werden, da es Messungen von Pfaden erfordert, die um den Defekt herum verlaufen.

Um sicherzustellen, dass meine Intuition bis zu diesem Punkt in Ordnung ist, möchte ich zuerst die letzte Zeile überprüfen:
Falls mir etwas fehlt ... Ist es in einer solchen Raumzeit möglich, das Winkeldefizit irgendwie "lokal" zu messen? oder Pfade verwenden, die eine Windungszahl von Null um den Defekt herum haben?

Dieses intuitive Verständnis des Winkeldefizits scheint implizit zu erfordern, dass die Raumzeit lokal flach ist und die Symmetrie eines unendlichen Zylinders hat. Wenn ich zum Beispiel die Translationssymmetrie entlang des Liniendefekts gebrochen habe, indem ich sie endlich in der Länge gemacht habe, kann man nicht einmal die intuitive Topologie verwenden, um festzustellen, ob ein Pfad um den Liniendefekt „umherging“ oder nicht. Die physikalische Intuition besagt jedoch, dass die Raumzeit um das Zentrum des endlichen Liniendefekts bei Entfernungen, die viel kleiner als die endliche Länge sind, immer noch den Fall der unendlichen Linie annähern sollte.

Kann "Winkeldefizit" entlang eines Pfades für beliebige Metriken irgendwie streng definiert werden? Wenn nein, welche Symmetrien sind dafür notwendig?

Ist es in einer solchen Raumzeit möglich, das Winkeldefizit irgendwie "lokal" zu messen oder Pfade zu verwenden, die eine Windungszahl von Null um den Defekt herum haben? ... Nein. Man muss die Phasenänderung eines Defekts messen, indem man ihn in einem vollen Kreis um einen anderen Defekt herum bewegt. Genauso wie Sie es mit Anyonen und anderen topologischen Objekten in kondensierter Materie tun.
Geht es hier speziell um das Thema Cosmic String? Die allgemeine Einstellung dafür wäre der Regge-Kalkül, für den es mehrere Links zu seiner Allgemeingültigkeit und Nützlichkeit gibt.
@Roy Nein, hier geht es nicht speziell um kosmische Saiten, aber sie geben die einzige Einführung dazu, die Winkelfehler intuitiv beschreibt. Aber selbst dort können wir, anstatt es als Keilentfernung zu betrachten, die Koordinaten skalieren, um zum Üblichen zurückzukehren 0 ≤ θ ≤ 2 π und erhalten Sie die Metrik: G μ v = D T 2 − D z 2 − D R 2 − k 2 R 2 D θ 2 Wo k ist der Skalierungsparameter, um Theta wieder auf den üblichen Bereich abzubilden. Es scheint, dass das Winkeldefizit nicht klar definiert ist, es sei denn, es wird direkt mit der flachen Raumzeit verglichen. Wenn es noch etwas anderes gäbe, könnten wir überhaupt noch ein Winkeldefizit definieren?
Grundsätzlich scheint das Winkeldefizit zumindest im Beispiel des Liniendefekts eine topologische Größe zu sein, und daher sollten wir es in der Lage sein, es auf koordinatensystemunabhängige Weise zu definieren. Wenn wir also andere Materie zum Hintergrund dieser Liniendefektsituation hinzufügen, können wir immer noch das Winkeldefizit berechnen, obwohl wir keinen schönen flachen Raumzeit-'Hintergrund' mehr haben. Letztendlich wäre es schön, eine Definition in Form eines Integrals über eine Fläche oder einige Pfade zu haben und nur die Metrik oder Krümmung einzubeziehen.

Antworten (1)

Der Riemann-Tensor ist überall genau Null, außer am Ort dieser kosmischen Saite, sodass sich jede offene Menge in diesem lokal flachen Raum genauso verhält wie die entsprechende offene Menge im flachen Raum.

Es gibt jedoch einen Riemann-Tensor ungleich Null, der proportional zur Delta-Funktion direkt am Ursprung des Zweidimensionalen ist X j Ebene quer zur kosmischen Saite.

R X j X j = Δ ϕ ⋅ δ ( 2 ) ( X , j )
Alle anderen Komponenten des Riemann-Tensors verschwinden.

Das bedeutet, wenn Sie untersuchen, was mit einem Vektor passiert v → unter parallelem Transport um eine Kurve, die die umkreist ( X , j ) = ( 0 , 0 ) Punkt, dh der Ort der kosmischen Saite, finden Sie heraus, dass dieser Vektor v → wird um gedreht Δ ϕ im X j Ebene.

Eine solche kosmische Saite kann daher als eine Art Gravitationslinse wirken. Lichtstrahlen von derselben ursprünglichen Quelle können aus zwei unterschiedlichen Richtungen zu unseren Teleskopen kommen Δ ϕ .

Wenn die kosmische Saite eine offene Saite wäre, könnte man zwar nicht immer sagen, ob ein Pfad im Raum diese kosmische Saite umgibt oder nicht. Folglich wäre die "Monodromie" unbestimmt: sollte sie Null sein oder der Defizitwinkel? Die Auflösung dieses Paradoxons ist einfach, dass es nicht passieren kann, dass eine solche kosmische Saite „offen“ ist. Man kann keine Geometrie aufschreiben, die in großer Entfernung vom offenen kosmischen String - in alle Richtungen - wie eine flache Geometrie aussehen würde, die aber auch einen Defizitwinkel aufweisen würde, aber die auch lokal fast überall flach wäre. Die Beobachtung, dass eine solche Geometrie zu inkonsistenten, mehrdeutigen Vorhersagen für den relativen Winkel zwischen Lichtstrahlen führen würde, ist ein Beweis dafür , dass eine solche Geometrie nicht existieren kann.

In der Praxis gibt es viele Gründe, warum eine kosmische Saite nicht offen sein kann. Wenn eine kosmische Saite leicht Endpunkte erzeugen könnte, wäre sie ähnlich wie die QCD-Flussröhre instabil. Und jedes offene Segment einer solchen kosmischen Schnur würde schnell schrumpfen, um seine Länge zu minimieren – was auch die Energie minimiert. Die eigentlichen kosmischen Strings in der Physik müssen zumindest lokal stabil sein. Außerdem tragen viele kosmische und nicht nur kosmische Saiten verschiedene "Ladungen", die als "Windungszahlen" interpretiert werden können (unendlich, wenn sich die Saiten über das Universum erstrecken) - jedoch gibt es in diesem Fall auch ein verallgemeinertes "elektromagnetisches Feld". sie, die auch eine Energiedichte ungleich Null ist und das Gravitationsfeld speist. Auch solche Dinge sind stark eingeschränkt. Aber auch ohne solche Erhaltungsladungen

Entschuldigung, wenn es Vorzeichenfehler oder Fehler in den Faktoren von zwei oben gibt.

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