Warum sollte in GR die Raumzeit-Mannigfaltigkeit differenzierbar sein?

Um eine Metrik überhaupt definieren zu können, benötigen Sie Tangentenvektoren, da dies die Argumente für die Metrik sind, und um Tangentenvektoren zu haben, benötigen Sie Differenzierbarkeit.

Denn wenn Ihre Mannigfaltigkeit nicht differenzierbar ist (und selbst dann zumindest$C^3$), machen Sie am Ende nichtlineare Verteilungstheorie und müssen Colombeau-Algebren verwenden, und glauben Sie mir, das wollen Sie nicht.

Das grundlegende Problem bei nicht differenzierbaren Mannigfaltigkeiten besteht darin, dass die allgemeine Relativitätstheorie im Gegensatz zu beispielsweise dem Elektromagnetismus nicht linear ist, was es schwierig macht, Verteilungen zu verstehen. Am Ende stehen Fragen wie „Was ist$\delta(x)^2$?", für die es in der grundlegenden Verteilungstheorie keine Antworten gibt. Colombeau-Algebren sind ein moderner Rahmen für die Behandlung solcher Probleme, und Anwendungen dafür finden Sie zum Beispiel hier .

Eine sehr kurze Antwort könnte sein, dass die Raumzeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie gekrümmt sein kann. Um abzuschätzen, wie stark es gekrümmt ist, müssen Sie in der Lage sein, die Änderungsrate zu berechnen, was durch Differenzieren des Koordinatensystems erfolgt, das Sie verwenden, um jede Region der Raumzeit abzubilden, mit der Sie es zu tun haben.

Wenn Sie nur ein Koordinatendiagramm hätten, müssten Sie niemals von einem Diagramm zum anderen wechseln. Sie müssten sich also keine Gedanken darüber machen, ob Ihr Übergang kontinuierlich, differenzierbar,$C^2$oder glatt.

Wenn Sie jedoch zwei Diagramme haben und zwei Diagramme benötigen, liegen sie bei einigen Ereignissen im Schnittpunkt der beiden Diagramme. Und in dem einen Diagramm haben Sie möglicherweise eine Kurve, die durch die Eigenzeit parametrisiert ist. Und habe ein Vektorfeld. Und das Vektorfeld könnte mit der Tangente der Kurve übereinstimmen und eine metrische Länge haben, die gleich einer Masse ist$m.$Und alles wäre in Ordnung, alles in einem Diagramm und alle Ableitungen und Längen werden mit diesem einen Koordinatensystem und der Metrik in dem einen Koordinatensystem berechnet.

Aber Sie können sich vorstellen, im anderen Koordinatensystem ähnlich vorzugehen. Alles wäre genauso schön.

Aber was ist mit der Überlappung? Wenn ein Koordinatensystem für die Überlappung sagt, dass das Vektorfeld die Weltlinie tangiert, würde das andere zustimmen? NEIN.

Im Allgemeinen würde es nicht. Es stimmt vielleicht nicht einmal darin überein, dass die Weltlinie bei allen Ereignissen eine Tangente hat, die der andere behauptet hat. Aber wenn die Übergangsabbildungen differenzierbar sind, dann stimmen sie überein.

Wenn die Übergangskarten zweitdifferenzierbar sind, könnten sich die beiden Diagramme darauf einigen, ob zweite Ableitungen übereinstimmen. Das ist wichtig für GR, weil es physikalische Tensoren wie den Einstein-Tensor gibt, die zweiten Ableitungen entsprechen. Sie möchten, dass sich zwei Diagramme darauf einigen, ob ein Tensorfeld des zweiten Ranges existiert und der Einstein-Tensor ist.

Es gibt eine einfache Herleitung:

Die Krümmung der Raumzeit ist ein Produkt der Gravitation. Gravitation ist eine Kraft. Die Kraft des Gravitationsfeldes nimmt mit zunehmendem Radius stetig ab, proportional zum Quadrat des Radius. Die entsprechende Funktion ist stetig und differenzierbar.

Nachdem wir gesehen haben, dass die Funktion der Gravitationskraft (und damit der Raumzeitkrümmung) bezüglich eines Massenobjekts und bezüglich einer Richtung (einer Dimension) differenzierbar ist, können wir diese Einsicht problemlos auf ein Universum mit mehreren Massenobjekten und erweitern mehrere Raumdimensionen. Kurz gesagt: Felder im Allgemeinen sind differenzierbar, und die Raumzeitkrümmung kann assimiliert werden.