Klassischer Spin, betrachtet als SU(2)SU(2)SU(2)

Question

Klassischer Spin, betrachtet als SU(2)SU(2)SU(2)

Sheriff

In welchem Sinne ist die Konfigurationsvariable eines klassischen Spins $SU(2)$ ? Ich kann einen klassischen Spin als Einheitsvektor in anzeigen $\mathbb{S}^2$ (2-dim. Sphäre), aber es scheint, dass es wirklich durch eine Matrix gegeben ist $U$ In $SU(2)$ . Die Hopf-Karte

H : S U (2) \to S^{2}

$H:SU(2)\rightarrow \mathbb{S}^2$ gegeben von

H (U) = U σ_{3} U^{†}

$H(U)=U\sigma_3U^{\dagger}$ dessen Bild mit einem Element in identifiziert werden kann

S^{2}

$\mathbb{S}^2$ gibt das, was ich mir unter diesem klassischen Dreh vorgestellt habe.

Da mit einem Magnetfeld $B$ Die Interaktion ist gerecht $H(U) \cdot B$ Es wäre kein Problem, nur darüber nachzudenken $S \in \mathbb{S}^2$ als Konfigurationsvariable, aber ich lese Folgendes:

Ein klassisches Massenteilchen $m$ , mit Stellung $x$ und drehen $S$ sich auf einem festen externen Magnetfeld bewegen $B$ kann durch die Lagrange-Funktion auf dem Tangentenbündel des Konfigurationsraums beschrieben werden $\mathbb{R} \times SU(2)$ gegeben als

L = \frac{1}{2} {\dot{X}}^{2} + ich λ T R (σ_{3} U^{†} \dot{U}) + μ T R (H (U) \dot{B}) .

$L=\frac{1}{2}\dot{x}^2+i\lambda Tr(\sigma_3U^{\dagger}\dot{U})+\mu Tr(H(U)\dot B).$

Der zweite Term bezieht sich also explizit auf $U$ .

EDIT: Ich habe das von "Gauge Symmetries and Fiber Bundles" bekommen. Balachandran et al.

Seite 19 der Referenz

ACuriousMind

"In welchem Sinne ist die Konfigurationsvariable eines klassischen Spins SU(2)?" ... diese Frage ergibt für mich keinen (grammatikalischen) Sinn, ich weiß nicht, was Sie fragen.

Sheriff

Wie kann ich einen "klassischen Spin" als Matrix in visualisieren?

S U (2)

$SU(2)$ (in der Lage sein, es zu tun

S^{2}

$S^2$ ), genauso stelle ich mir die Position eines Partikels als Vektor vor

u \in R^{3}

$u \in \mathbb{R}^3$

Slereah

Du nicht. SU(2) ist die Transformationsgruppe (doppelte Abdeckung von SO(3) und so weiter). Ähnlich wie ein 3D-Vektor von einer Matrix aus SO(3) beeinflusst wird, wird ein Spinor von einer Matrix von SU(2) beeinflusst. Deshalb sind Spinoren zweidimensionale komplexe Vektoren.

QMechaniker

Kommentar zur Frage (v4): @sheriff, stammt die Lagrange-Funktion mit dem letzten Term aus einer Referenz?

QMechaniker

Crossposting zu math.stackexchange.com/q/1292451/11127

Sheriff

Wie soll ich @Qmechanic besser machen, um mehr Leute mit meiner Frage zu erreichen?

Sheriff

Übrigens Leute, ich meinte interpretieren oder eine Referenz dafür haben:

Antworten (1)

Klassischer Spin, betrachtet als SU(2)SU(2)SU(2)

"In welchem Sinne ist die Konfigurationsvariable eines klassischen Spins SU(2)?" ... diese Frage ergibt für mich keinen (grammatikalischen) Sinn, ich weiß nicht, was Sie fragen.
Wie kann ich einen "klassischen Spin" als Matrix in visualisieren? $SU(2)$ (in der Lage sein, es zu tun $S^2$ ), genauso stelle ich mir die Position eines Partikels als Vektor vor $u \in \mathbb{R}^3$
Du nicht. SU(2) ist die Transformationsgruppe (doppelte Abdeckung von SO(3) und so weiter). Ähnlich wie ein 3D-Vektor von einer Matrix aus SO(3) beeinflusst wird, wird ein Spinor von einer Matrix von SU(2) beeinflusst. Deshalb sind Spinoren zweidimensionale komplexe Vektoren.
Kommentar zur Frage (v4): @sheriff, stammt die Lagrange-Funktion mit dem letzten Term aus einer Referenz?
Wie soll ich @Qmechanic besser machen, um mehr Leute mit meiner Frage zu erreichen?
Übrigens Leute, ich meinte interpretieren oder eine Referenz dafür haben:

Selene Rouley · Answer 1

Ich bin mir nicht ganz sicher, was Sie fragen, aber ich vermute, das Folgende könnte helfen. Zur Darstellung von Rotationen, Spins und Vektoren in $SU(2)$ wir arbeiten wie folgt.

Rotationen leben in $SU(2)$ .

Vektoren (im Sinne des Physikers) leben in der Algebra $\mathfrak{su}(2)$ . Der Positionsvektor $(x,\,y,z)$ Ist:

X = X {\hat{S}}_{X} + j {\hat{S}}_{j} + z {\hat{S}}_{z} = (\begin{array}{cc} ich z & ich X - j \\ ich X + j & - ich z \end{array})

$X =x\,\hat{s}_x+y\,\hat{s}_y+z\,\hat{s}_z = \left(\begin{array}{cc}i z&i\,x-y\\i\,x+y&-i z\end{array}\right)$

was eine Überlagerung der Pauli-Matrizen mit einem Faktor von ist $i$ hineingeworfen, um unseren Vektor in den Skew-Hermitian zu bringen $\mathfrak{su}(2)$ .

Eine Drehung $\gamma\in SU(2)$ wirkt auf einen Vektor $X\in\mathfrak{su}(2)$ durch die Spinorkarte :

X \mapsto γ X γ^{- 1} = γ X γ^{†}

$X\mapsto \gamma\,X\,\gamma^{-1}=\gamma\,X\,\gamma^\dagger$

Das Kreuzprodukt zwischen den beiden Vektoren $X,\,Y\in\mathfrak{su}(2)$ ist die Lie-Klammer $[X,\,Y]$ . Das innere Produkt kann man sich entweder als Antikommutator vorstellen $\{X,\,Y\}=X\,Y+Y\,X$ und ist immer ein Skalierungsfaktor mal der Identitätsmatrix (es ist also ein "Skalar") oder der Skalierungsfaktor allein kann auch als gefunden werden $\mathrm{tr}(X\,Y)$ (was z $\mathfrak{su}(2)\cong\mathrm{ad}(\mathfrak{su}(2))=\mathfrak{so}(3)$ , ist dasselbe wie das Negativ der Tötungsform, da $X^T = -X$ ).

Eine Winkelgeschwindigkeit definiert die zeitliche Ableitung einer Drehung, als solche ist sie auch ein Element der Lie-Algebra $\mathfrak{su}(2)$ und wird links übersetzt, um die Zeitableitung eines Rotationsoperators zu werden:

D_{τ} γ (τ) = γ Ω

$\mathrm{d}_\tau\,\gamma(\tau) = \gamma\,\Omega$

Wo $\Omega = \gamma^{-1}\,\mathrm{d}_\tau\,\gamma(\tau)\in\mathfrak{su}(2)$ ist die Winkelgeschwindigkeit. Die momentane Geschwindigkeit eines konstanten Positionsvektors $X$ unter der Wirkung von $X\mapsto \gamma(\tau)\,X\,\gamma^{-1}(\tau)$ ist dann $[\Omega,\,X]$ . Die Energie der Interaktion zwischen $\Omega$ und eine magnetische Induktion $B\in\mathfrak{su}(2)$ ist nach obigem das Skalarprodukt $\mathrm{tr}(\Omega\,B)$ (modulo ein gyromagnetisches Verhältnis)

Hilft das?

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ACuriousMind

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Slereah

QMechaniker

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Selene Rouley

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