Standardableitung der Witt-Algebra

Ich studiere seit einer Woche die konforme Feldtheorie aus den Büchern von Blumenhagen und Di Francesco et al.

Wenn ich das richtig verstehe, spricht man immer dann von "lokalen (infinitesimalen) konformen Transformationen" auf der komplexen Ebene (z. z → z + ϵ ( z ) ) durch holomorphe Funktionen beschrieben wird, nimmt man implizit an, dass es eine offene Teilmenge gibt (z U ), die einen Punkt der komplexen Ebene enthält, auf der die Funktion liegt ϵ ( z ) wohldefiniert und tatsächlich holomorph ist. Meine erste Frage ist, ob dies der richtige Weg ist, lokale konforme Transformationen zu betrachten. Wenn nicht, was genau versteht man dann unter „lokalen“ konformen Transformationen?

Nun, wenn die Antwort auf die vorherige Frage ja lautet, dann sehe ich nicht ein, warum die beiden oben genannten Bücher erweitert werden ϵ ( z ) als Laurent-Reihe um 0 bei der Ableitung der Witt-Algebra. Die Laurent-Reihe wird ihren eigenen Konvergenzbereich haben, der möglicherweise nicht die offene Menge enthält U . Kann also jemand erklären, warum es gerechtfertigt ist, das anzunehmen ϵ hat eine Laurent-Reihe um 0 und verwendet sie, um die Form der Generatoren der Witt-Algebra abzuleiten? Man könnte im Prinzip jeden beliebigen Punkt wählen (z A ) der offenen Menge und wähle die Nachbarschaft U ausreichend 'klein' sein, damit ϵ ( z ) wird durch eine Taylor-Reihe herum dargestellt A . Man wird durch dieses Verfahren im Allgemeinen eine kleinere Algebra erhalten.

Und ich wiederhole: Wenn die Antwort auf meine erste Frage nein lautet, könnte dann irgendjemand die Bedeutung von lokalen konformen Transformationen überhaupt klären?

Wenn Sie wissen möchten, wie die mathematisch strenge Behandlung der infinitesimalen konformen Transformation ist, lesen Sie das Buch "Advances in Moduli Theory" von Ueno und Shimizu.

Antworten (1)

Kommentare zur Frage (v2):

  1. Um genau zu sein, nehmen wir an, dass die zugrunde liegende 2D-Mannigfaltigkeit die Riemann-Kugel ist S 2 ≅ C ∪ { ∞ } .

  2. Die Gruppe der global definierten konformen Transformationen (verbunden mit der Identität) ist die 6-dimensionale Gruppe

    C Ö N F 0 ( P , Q )   ≅   S Ö + ( 1 , 3 )   ≅   P S L ( 2 , C )
    von Möbius-Transformationen .

  3. Mathematisch gesprochen sollte man das Gruppoid lokal definierter konformer Transformationen betrachten. Siehe auch zB diesen Phys.SE Beitrag.

  4. Die (komplexe) Witt-Algebra ist die Lie-Algebra meromorpher Vektorfelder auf der Riemann-Kugel S 2 . Es ist auch die Komplexifizierung der Lie-Algebra von Vektorfeldern auf einem Kreis S 1 .

  5. Aus physikalischer Sicht, wenn wir uns zB im Operatorformalismus einen geschlossenen String vorstellen, also eine einfache geschlossene Kurve γ ⊂ S 2 um einen markierten Punkt herum A ∈ S 2 , dann können wir nach dem Riemann-Abbildungssatz einen Koordinatenfleck so wählen, dass γ ist ein Einheitskreis in diesem Koordinatensystem.

  6. Eine Laurent-Serie über den Punkt A ∈ S 2 , von der wir annehmen, dass sie in einem Kreisring definiert ist A ⊃ γ , enthält alle lokalen Verformungen/Fouriermoden der Saite und ist daher für eine physikalische Beschreibung nützlich.

  7. Der Punkt A wird typischerweise mit der unendlichen Vergangenheit in Verbindung gebracht τ = − ∞ . Durch Änderung der Koordinaten dürfen wir annehmen A = 0 .

  8. Eine Taylor-Reihe (im Gegensatz zu einer Laurent-Reihe) über den Punkt A wird zB die Hälfte der Fourier-Modi der Saite verpassen.

  9. Andererseits, wenn die Riemann-Kugel S 2 hat N ≥ 2 markierte Punkte A ich ∈ S 2 , ich ∈ { 1 , … , N } , korrespondierend zu N lokale Betreibereinfügungen, dann in der ich 'te lokale Koordinatennachbarschaft U ich um A ich , eine Taylor-Reihe ist eine typische adäquate physikalische Beschreibung.

@Qmechanic Die Gruppe der global definierten konformen Transformationen sollten die glatten Vektorfelder des Kreises sein, deren Komplexierung die Witt-Algebra ergibt. Die Möbius-Gruppe P S L ( 2 , C ) ist die Untergruppe der konformen Transformationen, die den Vakuumzustand invariant lässt, nicht wahr?
Die Gruppe der global definierten konformen Transformationen (verbunden mit der Identität) auf der Riemann-Kugel ist die Möbius-Gruppe P S L ( 2 , C ) .
1. Danke für die Erklärung, aber es bleibt mir unklar, ob wir meromorphe Vektoren mit Polen nur bei a betrachten 0 Und ∞ oder allgemeine meromorphe Vektoren, es scheint, dass wir in beiden Fällen expandieren können z N ∂ z . 2. Und wenn wir allgemeine meromorphe Vektoren betrachten, warum physikalisch?
1. Holomorph auf einem Ring. 2. Es könnten z. B. zusätzliche Pole durch Bedienereinfügungen vorhanden sein.
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