Warum betrachten wir die Witt-Algebra als die Symmetrie-Algebra einer klassischen konformen Feldtheorie?

In Standard-Physiklehrbüchern wird normalerweise angegeben, dass die Witt-Algebra die Symmetrie-Algebra der klassischen konformen Feldtheorien in zwei Dimensionen ist.

Nach M. Schottenloher, A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory und diesem Phys.SE-Beitrag stellen wir fest, dass eine präzisere Form der vorhergehenden Aussage lautet: In der euklidischen Raumzeit ist das Lie-Algebroid lokal definierter konformer Killing-Vektorfelder oder äquivalent das Lie-Algebroid lokal definierter holomorpher Vektorfelder in der Riemann-Sphäre enthält eine komplexe Witt-Algebra.

Warum verwenden wir die komplexe Witt-Algebra, um klassische Symmetrien von a zu beschreiben C F T 2 ? Warum nicht L Ö C C Ö N F v e C ( S 2 ) oder irgendeine andere Lie-Subalgebra, die im Lie-Algebroid enthalten ist?

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Nun, das liegt wahrscheinlich daran, dass wir in Physiklehrbüchern über CFT in 2+0D (insbesondere in der Stringtheorie) selten die konforme Kompaktifizierung = die Riemann-Sphäre untersuchen S 2 per se, aber typischerweise eine doppelt punktierte Riemann-Kugel S 2 ∖ { 0 , ∞ } ≅ S × R = ein Zylinder, wo die 2 Einstiche z = 0 Und z = ∞ sind zeitliche Unendlichkeiten (= ferne Vergangenheit & Zukunft).

Ein lokal definiertes holomorphes Vektorfeld auf S 2 ∖ { 0 , ∞ } wird dann als (möglicherweise formale ) Laurent-Reihe erweitert

∑ N ∈ Z A N z N ∂ , A N   ∈   C .
Dies führt zur komplexen Witt-Algebra L N = − z N + 1 ∂ .

Wie ist die Tatsache, dass wir daran arbeiten S 2 − { 0 , ∞ } damit zusammenhängen, die formale Laurent-Reihe schreiben zu können? Wenn wir stattdessen an der Riemman-Sphäre arbeiten würden S 2 ohne Reifenpanne, was wäre der Unterschied?
Eine generische Laurent-Reihe ist nicht in mindestens 2 Punkten definiert.
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