CFT und die konforme Gruppe

Die Gleichungen 2-7 auf Seite 21 dieser Notizen, http://www.math.ias.edu/QFT/fall/NewGaw.ps , scheinen eine ziemlich kompakte Definition dessen zu geben, was eine CFT ist.

Aber ich habe zwei Fragen,

  • Diese Definition ist spezifisch für 2 Dimensionen. Gibt es ein Analogon dieser Definition für höhere Dimensionen?

  • Ich möchte wissen, ob es eine äquivalente Definition einer CFT in Bezug auf die konforme Gruppe in der spezifischen Dimension gibt.

Ich würde gerne wissen, ob ich eine solche Aussage (für jede Dimension) genau machen kann: "CFT ist eine QFT, so dass sich ihr Hilbert-Raum in Verma-Module aufteilt und die Korrelationsfunktion ihrer Primärfelder unter der konformen Gruppe in invariant ist diese Dimension."

Wir haben ungeraddimensionale CFTs und da weiß ich nicht, was eine "konforme Gruppe" ist!

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Antworten (1)

Die konforme Gruppe wird für jede gewünschte Raumzeit definiert. Die konforme Gruppe des d-dimensionalen euklidischen Raums, die die Isometriegruppe SO(d) hat, ist SO(d+1,1). Die konforme Gruppe des d+1-dimensionalen Minkowski-Raums, dessen Isometriegruppe SO(d,1) ist, ist SO(d+1,2). Die definierende Eigenschaft der konformen Gruppe ist, dass es sich um die Menge der Transformationen handelt, die die Metrix verlassen G μ v invariant bis auf einen Skalierungsfaktor e ω ( X ) .

Eine allgemeinere Definition für CFTs in d>2-Dimensionen ist, dass eine CFT eine QFT ist, deren Hilbert-Raum in Darstellungen der konformen Gruppe zerfällt und deren Korrelationsfunktionen unter jeder konformen Transformation invariant sind (ich glaube nicht, dass wir uns darauf beschränken müssen primäre Operatoren).

Der Spezialfall von zwei Dimensionen ist, dass die konforme Algebra unendlich dimensional ist. Die Gruppe der global definierten konformen Transformationen ist immer noch endlich, aber es gibt unendlich viele lokale konforme Transformationen. 2D-CFTs sind also viel eingeschränkter als höherdimensionale CFTs.

Eine gute Einführung finden Sie unter https://sites.google.com/site/slavarychkov/

Hier sind meine 2 Fragen besser umformuliert: (1) Stimmt es nicht, dass die konforme Gruppe in ( d > 1 ) + 1 Minkowski-Mannigfaltigkeit ist nur lokal isomorph zu S O ( d + 1 , 2 ) und nicht weltweit? (2) Gibt es einen Beweis für ( d > 1 ) + 1 Minskowskische Raumzeit, die verlangt, dass die klassische Lagrange-Funktion unter Weyl-Neuskalierungen der Metrik invariant ist, impliziert, dass der Hilbert-Raum der entsprechenden QFT in S O ( d + 1 , 2 ) aufgeteilt wird. Vertretungen? [...AFAI hat gesehen, dass diese entscheidende Verbindung zwischen dem klassischen und dem Quantenbild nur auf Riemann-Flächen mit einer festen Metrik beweisbar ist...]
Stimmt es auch, dass in einem CFT-Hilbert-Raum alle Operatoren unter Kommutierung mit dem Dilatationsoperator Eigenoperatoren sind? (...denn wenn man argumentiert, was der Zustand mit dem höchsten Gewicht in einem konformen Modul ist, sucht man nur unter solchen Operatoren nach dem Operator, der mit dem K kommutiert - und das ist das primäre...)
Um Ihre erste Frage zu beantworten, ja, der Isomorphismus ist (typischerweise) nur lokal. Die konforme Gruppe des 3+1-dimensionalen Minkowski-Raums wird doppelt von SO(4,2) abgedeckt, die wiederum doppelt von SU(2,2) abgedeckt wird. 2) Ich denke, Weyl-Neuskalierungen sind im Allgemeinen ein anderes Tier als konforme Transformationen (Neuskalierung von metrischen vs. Koordinatentransformationen), und es gibt keine Garantie, dass ein konform invarianter Lagrangian zu einer CFT führt. Im Allgemeinen führt ein klassisch konform invarianter Lagrangian nur dann zu einer CFT, wenn er ein Fixpunkt des RG-Flusses ist (oder typischerweise, wenn die Beta-Funktion verschwindet).
Und ja, im Hilbert-Raum einer CFT sind alle Operatoren Eigenoperatoren des Dilatationsoperators. Im Grunde ist der Hilbert-Raum so konstruiert, Sie beginnen mit den primären Operatoren, die von K vernichtet werden, und konstruieren alle anderen Zustände im konformen Modul über P.
Danke für die Antwort! (1) Wenn also SO(d+1,2) nur ein lokales Modell für das ist, was man als "konforme Gruppe" bezeichnen möchte (die Gruppe aller konformen Diffeomorphismen - Diffeomorphismen, die die metrische Invariante bis zu einer Weyl-Neuskalierung beibehalten), dann Warum sollte sich der Hlbert-Raum der CFT unter seinen Darstellungen aufspalten? QFTs sollen die volle Raumzeit sehen und nicht nur eine lokale Symmetriegruppe - richtig? Also sagen wir, dass, egal wie kompliziert die Raum-Zeit-Topologie ist, eine CFT darauf ihren Hilbert-Raum unter S O ( 2 , d + 1 ) aufteilen wird. !
(2) Siehe, das Problem mit Weyl-Reskalierungen ist meiner Meinung nach ziemlich ernst - weil klassisch, wenn man an eine CFT in ( d > 1 ) + 1 denkt das machen wir immer - wir schreiben eine Weyl-invariante Lagrange-Funktion auf - und dann denken wir als QFT, dass ihr Hilbert-Raum unter S O ( 2 , d + 1 ) aufzuteilen ist - man muss wissen, dass dies tatsächlich folgt!
(3) Haben Sie eine Referenz, in der bewiesen wird, dass alle Zustände in einem CFT-Hilbert-Raum Eigenoperatoren unter dem Dilatationsgenerator sind? Ich habe noch nie einen solchen Beweis gesehen! (... alle Argumente beginnen mit der Annahme, dass ein solcher Dilatationseigenraum für eine CFT existiert, und dann sucht man den niedrigsten unter ihnen und das ist derjenige, der mit K pendelt und wird als primär bezeichnet..)
1) Sie verwechseln lokale Symmetriegruppen mit lokalen Isomorphismen. Eine lokale Symmetrie ist eine Symmetrie, deren Parameter sich als Funktion der Raumzeit ändert (denken Sie an die lokale U(1)-Eichsymmetrie). Ich sage, dass SO (d + 1,1) als Gruppenverteiler lokal isomorph zur konformen Gruppe des d-dimensionalen euklidischen Raums ist. Es ist nicht mehr mysteriös, dass der Kreis (der mit U (1) identisch ist) lokal isomorph zur realen Linie ist (die auch eine Gruppe unter Addition bildet). Global unterscheiden sie sich, aber wenn wir uns um kleine globale Transformationen sorgen, können wir die Unterschiede ignorieren.
2 & 3) Ich denke, eine allgemeine Aussage ist, dass der Hilbert-Raum einer Theorie mit einer Symmetrie, dh einer Gruppe von Transformationen, die das erzeugende Funktional von Korrelationsfunktionen invariant lassen, sich als Darstellungen dieser Symmetrie zerlegt. Ich würde in Howard Georgis Text über Lie Algebras und Gruppentheorie nach einer Diskussion darüber suchen, aber ich kenne keine anderen Referenzen (ich werde aber suchen). Auch hier führt ein klassisch konform invarianter Lagrangian nicht immer zu einer CFT, aber wenn dies der Fall ist, sollte die vorhergehende Aussage gelten.
Was kompliziertere Raum-Zeit-Topologien betrifft, so habe ich nichts Intelligentes zu sagen, dass die konforme Gruppe nicht mehr SO (d + 1,2) sein wird, was nur für den d + 1-Minkowski-Raum gilt. Davon abgesehen ist der d-dimensionale euklidische Raum konform äquivalent zur d-dimensionalen Sphäre, so dass dies in den meisten Fällen kein wirkliches Problem darstellt.
Ich denke, Sie verfehlen meinen Punkt - Sie haben Recht, dass "der Hilbert-Raum einer Theorie mit einer Symmetrie, dh einer Gruppe von Transformationen, die das erzeugende Funktional von Korrelationsfunktionen invariant lassen, sich als Darstellungen dieser Symmetrie zerlegt" - ABER - wenn eine Aktion unter konformen Diffeomorphismen invariant ist, dann ist S O ( 2 , d + 1 ) ist NICHT die vollständige Symmetriegruppe von Transformationen (es ist nur so lokal!) - warum spaltet sich dann der Hilbert-Raum immer noch unter seinen Darstellungen? (...und dies geschieht unabhängig von der Topologie des lokalen d + 1 -Minkowskische Raumzeit - oder?...)
Ok, Ihre Frage betrifft wirklich CFTs in nichttrivialen Raumzeiten. Wie Sie sagten, geben die konformen Diffeomorphismen nicht die vollständige Symmetriegruppe an, aber sie sind eine Symmetrie der Theorie und sollten im Hilbert-Raum dargestellt werden. Wenn Ihre CFT nun auf einer nichttrivialen Geometrie lebt, haben Sie Einschränkungen von großen Diffeomorphismen hinzugefügt, wie z. B. modulare Invarianz, wenn Ihre Theorie auf dem Torus lebt. Solche Situationen werden jedoch normalerweise nicht in d> 2 CFTs berücksichtigt, da Sie Ihre CFT zwar auf einem d-dimensionalen Torus leben lassen können und verlangen, dass sie unter SL (d, Z) großen Differenzen unveränderlich ist
aber es gibt keine einfache Verbindung zu den Dimensionen von Operatoren, weil wir normalerweise radial quantisieren. 2d ist hier speziell, weil T2=S1xS1. Sie könnten davon ausgehen, dass Ihre Theorie auf dem d-dimensionalen euklidischen Raum mal dem Kreis lebt, und dies ergibt zusätzliche Einschränkungen (verallgemeinerte modulare Invarianz) aus der Theorie der endlichen Temperaturfelder. Sie könnten auch davon ausgehen, dass Ihre Theorie auf der D-Sphäre lebt, aber sie entspricht konform dem flachen Raum. Größtenteils werden Sie sehen, dass die Literatur zu d>2 CFTs auf flachen Raum, Raum mit Grenzen und Kugeln beschränkt ist.
Ich würde empfehlen, dass Sie sich arxiv.org/pdf/1101.4163v2.pdf ansehen , das einzige Papier, das die verallgemeinerte modulare Invarianz berührt.
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