Welche Beziehung besteht zwischen verschiedenen Arten von Quantenfeldtheorien?

Soweit ich weiß, haben alle bekannten Quantenfeldtheorien die gleiche sehr breite Struktur: Man gibt eine endliche Liste von Daten an, um eine bestimmte QFT zu spezifizieren, dann verwendet man etwas Formalismus, um algorithmisch verschiedene physikalische Observablen aus diesen spezifizierenden Daten zu extrahieren. (Ich nehme an, ein Philosoph würde sagen, dass alle physikalischen Theorien demselben Grundmuster folgen.)

Wie dieser allgemeine Rahmen funktioniert, sieht jedoch für verschiedene Arten von QFTs sehr unterschiedlich aus:

• Eine "Standard"-QFT auf Lagrange-Basis wird durch eine bestimmte Wahl der Lagrange-Dichte spezifiziert, die nur renormierbare Wechselwirkungsterme enthält. Genauer gesagt sind die "Eingabedaten", die eine Theorie bestimmen, eine Liste von Feldern und eine endliche Menge von Kopplungskonstanten zwischen diesen Feldern. Die Observables, die aus diesem Framework hervorgehen, sind in erster Linie$n$-Punkt-Korrelationsfunktionen der verschiedenen Felder. (Obwohl nicht unbedingt alle möglichen Korrelationsfunktionen – zum Beispiel für Eichtheorien – nur Korrelationsfunktionen von eichinvarianten Größen physikalisch beobachtbar sind. Diese Korrelationsfunktionen sind nicht immer die „endgültige Antwort“ – z. B. könnten wir sie in die LSZ-Formel einsetzen erhalten stattdessen Streuamplituden. Und manchmal möchten wir vielleicht Fragen beantworten, die nicht direkt durch Korrelationsfunktionen beantwortet werden - z. B. das Vorzeichen der Beta-Funktion oder ob eine bestimmte Theorie einen Phasenübergang erfährt. Aber im Prinzip sind die Korrelationsfunktionen (direkt oder indirekt) bestimmen alle beobachtbaren Größen.)
• Eine konforme Feldtheorie sieht vordergründig ganz anders aus. Wir schreiben oft keinen Lagrange für eine CFT auf, insbesondere wenn wir im Rahmen des konformen Bootstrap arbeiten. "Der vollständige Satz von Daten und Konsistenzbedingungen, die mit einer CFT verbunden sind, ist im Allgemeinen nicht bekannt", wie hier besprochen . Aber wir glauben, dass, zumindest für skalare Felder in flacher Raumzeit, die konformen Gewichte des Primärfeldes$\Delta_i$und die Operatorproduktentwicklungskoeffizienten$f_{ijk}$bilden zusammen ausreichende CFT-Daten. (Diese CFT-Daten müssen bestimmte Konsistenzbeschränkungen wie die Kreuzungssymmetriegleichung (die die Assoziativität des OPE sicherstellt) und die modulare Invarianz in zwei Dimensionen berücksichtigen. Es kann auch andere Konsistenzbeschränkungen geben.) Aber genau wie im Lagrange-Fall gilt: die Observables, die aus dem Framework kommen, sind typisch$n$-Punkt-Korrelationsfunktionen.
• Eine topologische Feldtheorie sieht wieder ganz anders aus. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, TQFTs zu formulieren: in Form von symmetrischen monooidalen Funktoren oder geflochtenen Fusionskategorien oder modularen Tensorkategorien ( das sind sieben verschiedene Verbindungen). Es gibt auch TQFTs vom Schwarz-Typ, die eher in der Theorie der kondensierten Materie auftauchen, und TQFTs vom Witten-Typ, die eher in der Hochenergietheorie auftauchen. Die Grundidee ist, dass eine TQFT eine Abbildung einer Raumzeit-Topologie auf eine topologisch unveränderliche komplexe Zahl ist. Abhängig von der spezifischen Formulierung können die anfänglichen Daten, die eine bestimmte Wahl von TQFT spezifizieren, ein Satz von sein $f$Symbole bzw$S$und$T$Matrizen usw., und die "Observablen", die herauskommen, sind verschiedene topologische Invarianten. Es gibt normalerweise keinen nützlichen Begriff von$n$-Punkt-Korrelationsfunktionen.

Offensichtlich ist es überhaupt nicht klar, wie man diese drei sehr unterschiedlichen Begriffe in einem einzigen vereinheitlichenden konzeptionellen Rahmen kombinieren kann. Ich habe zwei verwandte Fragen zu den Beziehungen zwischen ihnen:

1. Wenn der Begriff "Quantenfeldtheorie" ohne Einschränkung verwendet wird, bezieht er sich normalerweise auf den Lagrange-basierten Formalismus. Wir denken oft intuitiv an die anderen beiden als Sonderfälle von diesem. Zum Beispiel stellen wir uns eine CFT oft als einen RG-Fixpunkt einer nichtkonformen QFT vor, aber wir schreiben die CFT-Lagrange-Funktion selten explizit auf. Tatsächlich haben viele CFTs überhaupt keine bekannte Lagrange-Beschreibung. Es wird sogar vermutet, dass einige CFTs, ​​wie$(2, 0)$Superkonforme Feldtheorie in sechs Dimensionen, haben keine mögliche Lagrange-Beschreibung, obwohl es anscheinend kein bewiesenes No-Go-Theorem gibt . In ähnlicher Weise werden TQFTs vom Schwarz-Typ oft als Lagrange-basierte Theorien betrachtet, deren Lagrange-Funktionen nicht von der Raumzeitmetrik abhängen. Tatsächlich könnte man sich vielleicht vorstellen, dass alle Schwarz-Typ-TQFTs auch CFTs sind, da sich die Lagrange-Dichte jeder Schwarz-Typ-TQFT trivialerweise konform transformiert (d. h$g_{\mu \nu}(x) \to \Lambda(x) g_{\mu \nu}(x)$) unter beliebigen Diffeomorphismen, da die Metrik gar nicht vorkommt! (Obwohl CFTs und TQFTs in der Praxis sehr unterschiedlich aussehen.) Haben Sie eine der vernünftig erscheinenden Einschlüsse$\text{TQFT} \subset \text{CFT}$oder$\text{CFT} \subset \text{(Lagrangian QFT)}$bewiesen oder widerlegt? (Diese Frage hängt mit dieser zusammen .)

2. Versuchen Versuche, QFT mathematisch zu formalisieren (z. B. die Wightman-Axiome usw.), alle diese Arten von QFTs gleichzeitig abzudecken? Wenn nicht, gibt es einen mathematischen Rahmen, der sie vereint? Nach meinem Verständnis wurden bestimmte topologische QFTs vollständig mathematisch streng gemacht, aber für Lagrange-basierte QFTs wurden nur geringe Fortschritte erzielt. Ich bin mir nicht sicher, was der Status von CFT vom Standpunkt der mathematischen Strenge ist.