Chern-Simons und Framing-Abhängigkeit...

In seinem Artikel über das Jones-Polynom führte Witten zwei Arten von Rahmungen ein:$3$-Manifold-Framing und Knoten-Framing. Die erste ist mit den Homotopieklassen der Trivialisierung des Tangentenbündels verbunden$3$-Mannigfaltigkeit, die zweite ist mit den Homotopieklassen der Trivialisierungen des Normalbündels zum Knoten verbunden. Den zweiten Punkt erklärt er hier (auf Seite 71 unten).

Witten bemerkt die Analogie zwischen diesen beiden Rahmungen in der Fußnote auf Seite 364 des Witten-Jones-Artikels.

Der Hauptgrund, warum er die Framing-Abhängigkeiten einführen musste, war, dass er versuchte, topologische Invarianten zu erhalten; wenn er es nicht tat, stellte er fest, dass er die metrische Abhängigkeit durch Framing handeln kann$3$-Mannigfaltigkeits-Framing-Abhängigkeit im ersten Fall und die Knoten-Diffeomorphismus-Abhängigkeit durch Knoten-Framing-Abhängigkeit im zweiten Fall.

Für den ersten Fall, als er die Zustandssumme in der semiklassischen Näherung der Pfadintegration um ein Hintergrundpegelfeld berechnete, erhielt er einen davon abhängigen Ausdruck$\eta$Invariante, die immer dann auftritt, wenn eine Partitionsfunktion eines Operators erster Ordnung (Dirac-ähnlich) ist (weil der Fluktuationsterm in den Ableitungen linear ist). Der$\eta$Invariante ist metrisch abhängig und Witten hat diese metrische Abhängigkeit durch folgenden Trick beseitigt, zuerst schrieb er:

$$\eta(A) = \eta_{\mathrm{grav}} + (\eta(A) -\eta_{\mathrm{grav}} )$$ Der zweite Term ist metrisch invariant, wo$\eta_{\mathrm{grav}}$ist die Gravitation$\eta$Invariante berechnet aus einer Spinverbindung$\omega$. Dann fügte er von Hand einen Gravitations-Chern-Simons hinzu$I(\omega)$um einen Vorfaktor zu erhalten: $$\eta_{\mathrm{grav}} + \frac{1}{12\pi} I(\omega)$$ Der obige Vorfaktor ist metrisch unabhängig, aber rahmenabhängig.

Im Fall des Knotens hängt die Korrelationsfunktion von den Knotenvernetzungszahlen ab, die gutartig sind, aber auch von den Selbstverknüpfungszahlen, die mehrdeutig sind. Es gibt Regularisierungsschemata mit endlichen Ergebnissen, aber sie sind keine Diffeomorphismus-Invarianten. Hier hat Witten das selbstverknüpfende Integral durch die Wahl eines leicht versetzten Knotens regularisiert. Der verschobene Knoten ist nicht eindeutig; das Ergebnis hängt von der Homotopie-Trivialisierungsklasse des normalen Bündels des Knotens ab. Das Ergebnis ist Diffeomorphismus-invariant, aber Knotenrahmen-abhängig.

Nun zu Ihrer Frage nach der physikalischen Bedeutung der Abhängigkeit von den Trivialisierungen. Eine Trivialisierung eines Bündels wird durch seine Übergangsfunktionen zwischen Diagrammen definiert. Diese Übergangsfunktionen sind nicht eindeutig; es sind Čech-Kozyklen, die man durch Hinzufügen von Kogrenzen modifizieren kann; dies sind nur Eichtransformationen.
Ich habe in dieser Antwort Beispiele für diese Objekte gegeben . Ihre Eich-Eigenschaft legt nahe, dass wir sie als Hintergrund-Eichfelder behandeln müssen (sie werden nicht in das Pfadintegral integriert). Unterschiedliche Bagatellisierungen sind also gleichbedeutend mit unterschiedlichen Hintergründen. Die Quantenmechanik sagt uns, dass sie inäquivalenten Quantisierungen entsprechen, und wir wissen, dass diese inäquivalenten Quantisierungen zwangsläufig wie im Fall des Aharonov-Bohm-Effekts auftreten werden.