Wann ist ein Wess-Zumino-Begriff wohldefiniert?

Laut Wikipedia ist ein Wess-Zumino- Begriff wohldefiniert, wenn die Lie-Gruppe (Zielraum) G ist kompakt und einfach verbunden, weil das impliziert π 2 ( G ) ist trivial. Aber es gibt Lie-Gruppen mit Trivialitäten π 2 ( G ) die nicht einfach verbunden sind (z. S 1 ). Ist S W Z ( G ) in einem solchen Fall wohldefiniert? Ist trivial π 2 ( G ) notwendig und ausreichend oder nur notwendig? Wenn es nicht ausreichend ist, was ist dann die hinreichende Bedingung? G dafür, ein WZW-Modell zuzugeben?

Bei näherem Nachdenken scheint es, dass die Wikipedia-Seite einige irreführende Aussagen enthält. So heißt es zum Beispiel π 2 ( G ) ist trivial, weil G ist einfach verbunden; aber, wie von Benutzer gj255 im Kommentarbereich erwähnt, π 2 ( G ) ist für jeden trivial G , einfach verbunden oder nicht. Darüber hinaus behauptet Wikipedia dies im Unterabschnitt Topologische Hindernisse k S W Z ( G ) ist wohldefiniert wenn k ∈ π 3 ( G ) , also scheint die relevante Homotopiegruppe die dritte statt die zweite zu sein. Wenn das richtig ist, dann würde ich vermuten k S W Z ( S 1 ) ist nur auf Ebene Null wohldefiniert (weil π 3 ( S 1 ) = { 0 } ), und daher gibt es keinen Wess-Zumino-Begriff für einen solchen Zielraum. Ist das richtig? Allgemeiner ist k S W Z ( G ) wohldefiniert genau dann wenn k ∈ π 3 ( G ) ≠ { 0 } ?

Nach meinem Verständnis hat jede Lie-Gruppe eine triviale zweite Homotopiegruppe. Siehe mathoverflow.net/q/8957 .
@ gj255 huh, das war unerwartet. Wenn π 2 ( G ) immer trivial ist, dann ist es seltsam, dass Wikipedia erwähnt, dass es daraus folgt G einfach verbunden sein. Ich bin mir nicht sicher, was ich denken soll, aber die Frage ist immer noch die gleiche: "Wofür G ist WZ wohldefiniert?". Vielen Dank auf jeden Fall für den Kommentar!

Antworten (1)

Es ist falsch, die Homotopiegruppen zu studieren, um WZW-Begriffe zu klassifizieren, weil wir nicht nur an sphärischen Raumzeiten interessiert sind.

Lassen X der Zielraum sein und M eine beliebige abgeschlossene Raumzeit N -Verteiler mit einer Karte ausgestattet σ : M → X . Lassen ω geschlossen sein ( N + 1 ) - Form an X mit ganzzahligen Perioden.

Wenn σ nullhomotop ist, können wir sie auf den Kegel erweitern σ ^ : C M → X , die durch die Ausbildung des Prismas definiert ist M × [ 0 , 1 ] und Zusammenfallen eines Endes zu einem Punkt. Dann können wir definieren

W Z W ( M , σ ) = exp ⁡ 2 π ich ∫ C M σ ^ ∗ ω .
Und weil ω geschlossen ist und ganzzahlige Punkte hat, kann gezeigt werden, dass dies unabhängig von der Erweiterung ist σ ^ .

Für diese Definition ist es sehr wichtig, dass wir sie erweitern können σ zum Kegel, oder zumindest zu einigen N + 1 -Kette, deren Grenze ist M (Wir können eine Homologietheorie verwenden, deren Ketten singuläre Mannigfaltigkeiten mit Ecken sind , sodass es immer noch sinnvoll ist, den Pullback zu bilden σ ^ ∗ ω überall außer einem Takt-Null-Set). Die Bedingung für diese allgemeinere Situation ist eine homologische: wir brauchen σ ∗ [ M ] = 0 ∈ H N ( X , Z ) , Wo [ M ] ist die fundamentale Klasse von M . Wenn H N ( X , Z ) = 0 , dann sind wir immer im Geschäft.

Beachten Sie, dass kürzlich einige Studien zu topologischen Begriffen des Sigma-Modells aus dem Kobordismus durchgeführt wurden, die ziemlich interessant waren: https://arxiv.org/abs/1707.05448 . Es erklärt, was mit dem Theta-Winkel passiert, den man in einer 2+1D-Theorie erwartet X = S 2 aus π 3 S 2 = Z .

Nett, danke! Ich werde einige Zeit brauchen, um diese Antwort zu verdauen; wenn ich was nicht verstehe melde ich mich wieder. Beifall!
Übrigens denke ich, dass es möglich ist, das topologische Hindernis zu untergraben, indem man eine differentielle Verfeinerung von wählt ω . Ich könnte dir mehr erzählen, wenn du mir eine E-Mail schickst, aber ich arbeite gerade daran, also ziehe ich es vor, es hier nicht zu teilen.
@ Ich bin ziemlich neu in all diesen Topologie-Sachen, daher bin ich mir ziemlich sicher, dass die Details über meinen Kopf gehen würden. Ich bleibe erstmal bei den Basics, aber trotzdem vielen Dank :-)
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