In Wittens Aufsatz über QFT und das Jones-Polynom quantisiert er den Chern-Simons-Lagrangian weiter für zwei Fälle: (1) hat keine markierten Punkte (d. h. keine Wilson-Schleifen) und (2) hat markierte Punkte und jedem Punkt ist eine Darstellung der Messgerätegruppe beigefügt. Im Fall (1) zeigt Witten, dass der Vektorraum der Raum holomorpher Schnitte eines bestimmenden Linienbündels über dem Modulraum flacher Verbindungen sein sollte. Für den zweiten Fall gibt er an, dass der Vektorraum sein soll -invarianter Teilraum des Tensorprodukts aller Darstellungen, die den markierten Punkten zugeordnet sind; damit meine ich, wenn hat markierte Punkte und jeder Punkt hat eine Wiederholung dann ist der Quanten-Hilbert-Raum .
Weiß jemand, wie man diesen zweiten Fall in Bezug auf Abschnitte eines Bündels interpretiert? Ich meine, sollte sich der zweite Fall nicht auf den ersten reduzieren, wenn Sie die markierten Punkte entfernen? Außerdem stellt Witten unmittelbar nach Fall (2) fest, dass der Quanten-Hilbert-Raum ohne markierte Punkte eindimensional ist. Wie kann man das aus der Formel für den Quanten-Hilbert-Raum ersehen, ?
Es gibt zwei Möglichkeiten, sich den Hilbert-Raum als den Raum von Abschnitten eines Linienbündels vorzustellen.
Erstens die potenzierte Chern-Simons-Wirkung auf einer Mannigfaltigkeit ist ein Abschnitt des bestimmenden Linienbündels auf dem Platz der Flachverbindungen auf . Darüber hinaus tragen Wilson-Schleifen (die man sich als 1d-TFT vorstellen kann) bei jeder. Also ist der Hilbert-Raum (bevor man sich an die Eichinvarianz erinnert) . Nun, wenn , die einfach verbunden ist, ist der Raum der flachen Verbindungen ein Punkt, also . Schließlich wählt die Eichinvarianz die aus -Invarianten ein .
Beachten Sie, dass der Hilbert-Raum für einen nicht einfach Zusammenhang steht ist auch ohne die Pannen nicht trivial.
Eine andere Möglichkeit, sich diesen Hilbert-Raum vorzustellen, besteht darin, sich an die Korrespondenz 2d CFT <-> 3d TFT zu erinnern. Die Idee hier ist die folgende. Korrelationsfunktionen einer 2d CFT leben in einem bestimmten Bündel über dem Modulraum komplexer Kurven heißt das Bündel konformer Blöcke. Die Knizhnik-Zamolodchikov-Gleichungen zu Korrelationsfunktionen entsprechen einer (projektiv) flachen Verbindung auf diesem Bündel. Eine 2d-CFT ordnet also globale Abschnitte dieses Bündels einer topologischen Oberfläche zu , das ist der Hilbert-Raum in einem 3D-TFT. Im Fall der Chern-Simons-Theorie ist die zugehörige 2d-CFT das Wess-Zumino-Witten-Modell.
Eine bodenständige Beschreibung findet sich in
S. Elitzur, G. Moore, A. Schwimmer, N. Seiberg, Bemerkungen zur kanonischen Quantisierung der Chern-Simons-Witten-Theorie, Nucl Phys B326 (1989), 108.
Mathematisch gesehen ist diese Entsprechung eine Äquivalenz zwischen modularen Funktoren (wie von Segal in Die Definition der konformen Feldtheorie definiert) und modularen Tensorkategorien, die zu 3D-TFTs führen (aufgrund von Reshetikhin und Turaev).
All dies wird in einem ausgezeichneten Buch Lectures on Tensor Categories and Modular Functors von Bakalov und Kirillov diskutiert.
Urs Schreiber