Chern-Simons-Freiheitsgrade

Ich lese gerade das Papier http://arxiv.org/abs/hep-th/9405171 von Banados. Ich mache mich gerade mit den Details der Chern-Simons-Theorie vertraut und hoffe, dass jemand die folgende Aussage erklären/ausarbeiten kann:

In einer Feldtheorie ohne Freiheitsgrade wie der Chern-Simons-Theorie sind die einzigen relevanten Freiheitsgrade Holonomien oder globale Ladungen.

Ich habe auch Dinge wie "Chern-Simons is topological" gehört, die verwandt klingen. Ist es?

Ist dies der Tatsache ähnlich, dass GR in 2+1-Dimensionen rein topologisch ist, weil die Vakuumkrümmung identisch verschwindet? Sie können konische Singularitäten haben, aber keine im Schwarzschild-Stil.
@BenCrowell In meinem Buch ist es sicherlich ähnlich, aber ich bin mir nicht sicher, inwieweit diese beiden Fakten zusammenhängen. Die Chern-Simons-Theorie beinhaltet Lie-Algebra-bewertete Formen auf Mannigfaltigkeiten und enthält im Wesentlichen GR als Sonderfall, daher erscheint mir die Aussage über Chern-Simons etwas allgemeiner.
@joshphysics Ich denke, es ist Ihnen irgendwie klar, dass sie relevant sind, da es sich um unabhängige Freiheitsgrade handelt. Dies hängt damit zusammen, dass die CS-Theorie keine lokalen Freiheitsgrade (dh keine Wellen, ...) hat, wie zB durch eine kanonische Analyse gezeigt werden kann. Meine Verwirrung (und ich vermute auch Ihre) ist, warum sie die EINZIGEN sein sollten, dh der Beweis der Vollständigkeit. Mir ist kein Ort bekannt, an dem dies gezeigt wird, und der Autor sicherlich nicht.

Antworten (3)

Dies wird in Abschnitt 3 von Wittens „Quantum Field Theory and the Jones Polynomial“ erklärt. Die Idee ist, eine Dreiermannigfaltigkeit lokal zu parametrisieren M × R , wo M ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit und R ist die Zeitrichtung, entlang der wir quantisieren. Sobald wir dies getan haben, können wir die zeitliche Anzeige festlegen, wo die Zeitkomponente ist EIN 0 des Messgerätefeldes verschwindet. In diesem Messgerät impliziert die Einschränkung des Gaußschen Gesetzes, dass die räumlichen Komponenten der Feldstärke verschwinden, was wiederum besagt, dass die Messgerätverbindung flach ist und die einzigen Freiheitsgrade topologischer Natur sind.

Mein allgemeines Gefühl in Bezug auf die Chern-Simons-Theorie ist aufgrund der begrenzten Menge, die ich darüber weiß, dass die meisten Verwirrungen, die man haben könnte, in Wittens Artikel angesprochen werden (es sei denn, Sie interessieren sich für das relativ neue Gebiet der Chern-Simons-Materie. ) Es ist ein Meisterwerk und auch sehr lustig zu lesen.

Soweit ich es verstehe (was nicht sehr weit ist, aber es sollte reichen), enthalten die Chern-Simons- und verwandte Aktionen nur das, was wir normalerweise "Grenzbedingungen" nennen, sodass der Wert der Aktion nur von den Randbedingungen abhängt und was die Felder tun in der Masse ist irrelevant. EDIT: Ich hatte diese Woche ein paar Vorlesungen darüber, werde etwas weniger Peinliches posten, nachdem ich es richtig überarbeitet habe.

Chern-Simons ist in zweierlei Hinsicht topologisch: Erstens "lesen" Aktionen dieser Art nur topologische Informationen der Mannigfaltigkeit, auf der sie integriert sind, wie ich oben beschrieben habe . Der andere Sinn ist, dass sie explizit unabhängig von jeder metrischen und Volumenform sind, also sagen wir, dass sie in dem Sinne „topologisch“ sind, dass sie keine Informationen über die Geometrie der Mannigfaltigkeit enthalten.

Hinweis: Höherdimensionale CS-Theorien (nicht der 3D-Fall) in ungeraden Dimensionen haben dynamische Freiheitsgrade, unwahrscheinlich die 3D-CS-Theorie. Außerdem sind sie ein entartetes Phasenraumsystem (im Sinne von Dirac).

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