Der Hilbert-Raum von Chern-Simons auf einem Torus, Teil eins...

Es gibt ein Schlüsselergebnis in der 2+1-dimensionalen Chern-Simons-Theorie, das zuerst in Lit. 1 diskutiert wurde: der Hilbert-Raum der Theorie, wenn er quantisiert wird T 2 × R , ist isomorph zu

(2.14) Λ w W ⋉ k Λ R ∨
Wo Λ w ist der Gewichtsverband der Eichgruppe G (angenommen einfach und einfach zusammenhängend), W die Weyl-Gruppe von G , k ∈ Z der Koeffizient der Chern-Simons-Form und Λ R ∨ das Co-Wurzel-Gitter von G .

Die meisten Artikel beziehen sich heutzutage einfach auf die ursprüngliche Referenz oder geben das Argument fast wörtlich wieder. Das Problem ist, dass ich der ursprünglichen Referenz nicht ganz folgen kann und die Übersichtsartikel genau der gleichen Argumentation folgen, also kann ich ihnen auch nicht folgen. Ich habe mehrere Fragen, und ich werde sie in mehrere Posts aufteilen.

Lassen A sei ein G -geschätzte Eins-Form, die darin lebt T 2 × R , und zerlege es in seine zeitlichen und räumlichen Komponenten, A = A 0 D T + A ~ . Aufgrund der Bewegungsgleichungen A ~ Ist D ~ -Wohnung, D ~ A ~ + A ~ 2 ≡ 0 , mit D = D T ∂ T + D ~ . Die Autoren behaupten, dass, seiend D ~ -flach, es kann als zerlegt werden

(2.9) A ~ = − D U U − 1 + U θ ( T ) U − 1
Wo U ist eine einwertige Karte aus T 2 × R Zu G , und wo θ ( T ) ist ein G -bewertete eine Form, die davon abhängt T nur.

Woher kommt das?

Die Autoren bieten keine Referenz oder Erklärung. Ist das ein allgemeines Ergebnis? Funktioniert es nur für den Torus? Was ist mit anderen Oberflächen? Was ist mit flachen Verbindungen auf einer höherdimensionalen Mannigfaltigkeit?

Ich denke, das Problem ist rein zweidimensional, und die Abhängigkeit von T ist parametrisch. Mit anderen Worten, wir sollten dies als Lösungsversuch betrachten D ~ A ~ ≡ 0 An T 2 , wovon alles implizit abhängt T , als Parameter. Somit lautet die Behauptung θ ist ständig vorbei T 2 .

Verweise.

  1. Elitzur, Moore, Schwimmer, Seiberg - Bemerkungen zur kanonischen Quantisierung der Chern-Simons-Witten-Theorie .

Antworten (1)

  1. Wohnung G - Hauptanschlüsse an X Modulo-Eichtransformationen stehen in Bijektion mit Gruppenhomomorphismen π 1 ( X ) → G Modulo-Konjugation. Der Beweis dafür ist "bekannt" und findet sich zB in Kobayashis und Nomizus Buch über Differentialgeometrie. Eine schöne Darstellung ist in Kapitel 5 von "Moduli Spaces of Flat Connections" von Daan Michiels.

    Die Grundidee ist, dass eine flache Verbindung bereits durch ihre Holonomie um nicht kontrahierbare Schleifen bestimmt ist, da sie um kontrahierbare Schleifen trivial ist ∮ γ A = ∫ S F = 0 Wo ∂ S = γ für etwas Oberfläche S und durch eine Anwendung von (nicht-abelschen) Stokes. Aufgrund desselben Arguments sind die Holonomien homotoper Schleifen gleich, und die Homotopieklassen nicht kontrahierbarer Schleifen sind genau die nicht-trivialen Elemente von π 1 ( X ) . Also ein Homomorphismus π 1 ( X ) → G ist eine nette Möglichkeit, alle nicht-trivialen Holonomien aufzuzählen.

    Seit π 1 ( T 2 ) = Z 2 , ist ein solcher Homomorphismus durch zwei kommutierende Elemente gegeben Θ 1 , Θ 2 ∈ G , und diese entsprechen den Holonomien der Verbindung entlang der beiden Grundschleifen in T 2 .

  2. Wenn G kompakt und einfach verbunden ist, dann gibt es keine nicht-trivialen G -Hauptbündel über kompakten orientierbaren Flächen, dh die Verbindungsform ist global definiert, oder "einzelwertig".

Definieren θ 1 = e Θ 1 Und θ 2 = e Θ 2 und tun Sie dies für jede Zeitscheibe, um Funktionen zu erhalten θ ich : R → G . Dann

θ ( T ) = θ 1 ( T ) D ϕ 1 + θ 2 ( T ) D ϕ 2 ,
mit D ϕ ich die beiden grundlegenden kohomologisch nicht-trivialen 1-Formen auf T 2 ist eine Verbindung an T 2 mit Holonomien exp ⁡ ( θ 1 ( T ) ) , exp ⁡ ( θ 2 ( T ) ) zu jedem Zeitpunkt.

Es bleibt nur noch zu beachten, dass die beanspruchte allgemeine Lösung dann einfach eine allgemeine Eichtransformation dieses Zusammenhangs ist.

Der Hilbert-Raum von Chern-Simons auf einem Torus, Teil eins...
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