Ich interessiere mich für topologische QFT, einschließlich der Theorie von Chern Simons, des Jones-Polynoms, der Donaldson-Theorie und der Floer-Homologie - im Grunde die Art von Dingen, an denen Witten in den 80er Jahren gearbeitet hat. Ich suche eher nach pädagogischen Rezensionen als nach Originalartikeln. Obwohl diese Dinge an der Schnittstelle von Mathematik und Physik angesiedelt sind, interessiere ich mich eher als Physikstudent dafür. Ich erinnere mich, dass jemand nach einer empfohlenen Leseliste für topologische QFT in mathoverflow gefragt hat . Die vorgeschlagenen Arbeiten waren fast einheitlich strenge Mathematik, die von Mathematikern geschrieben wurde. So etwas suche ich nicht.
Die Beziehung ist sehr tief und hat eine reiche mathematische Struktur, so dass (leider) das meiste Zeug in einer formaleren, mathematischeren Weise geschrieben wird. Ich kann nichts über die Donaldson-Theorie oder die Floer-Homologie sagen, aber ich werde einige Quellen für die Chern-Simons-Theorie und ihre Beziehung zum Jones-Polynom erwähnen.
Da ist zunächst einmal der Originalartikel von Witten - Quantenfeldtheorie und das Jones-Polynom . Ein verwandter Artikel ist dieser (Paywall) von Elitzur, Moore, Schwimmer und Seiberg.
Ein sehr schönes Buch ist von Kauffman mit dem Titel Knots and Physics. Auch das Buch von Baez und Munaiin enthält zwei einführende Kapitel zur Chern-Simons-Theorie und ihrer Beziehung zu Link-Invarianten.
Es gibt auch einige physikalische Anwendungen der Chern-Simons-Theorie. Zum Beispiel erscheint es als eine effektive (langwellige) Theorie des fraktionierten Quanten-Hall-Effekts. Link-Invarianten wie das Jones-Polynom können mit einer verallgemeinerten Form der Austauschstatistik in Beziehung gesetzt werden. Siehe diesen Übersichtsartikel: abs/0707.1889 . Siehe auch dieses Buch von Lerda , um mehr über diese Idee der verallgemeinerten Statistik zu erfahren.
Eine weitere interessante Anwendung ist, dass die Chern-Simons-Theorie in 3D der Allgemeinen Relativitätstheorie in 3 Raum-Zeit-Dimensionen entspricht. GR in 3 Dimensionen ist quantisierbar und folgt einem schönen Spielplatz für die Quantengravitation.
http://ncatlab.org/nlab/show/Chern-Simons+gravity hat eine schöne Leseliste zu diesem Thema in den Referenzen.
Vielleicht ist "Edward Witten, (2+1)-Dimensional Gravity as an Exactly Soluble System Nucl. Phys. B311 (1988) 46" ein guter Anfang, aber wenn Sie mehr pädagogisches Material bevorzugen, denke ich "Bastian Wemmenhove, Quantisation of 2+1 dimensional Gravity as a Chern-Simons theory thesis (2002)" und "Jorge Zanelli, Lecture notes on Chern-Simons (super-)gravities" sind sehr lesenswert.
Auch pädagogisch scheint mir "Ivancevic,Ivancevic, Undergraduate Lecture Notes in Topological Quantum Field Theory" http://arxiv.org/abs/0810.0344 (bereits unter Ihrem Link verlinkt.)
Olaf hat bereits die meisten Referenzen gegeben, die ich empfehlen würde. Aber im Fall der Chern-Simons-Theorien und der Knotentheorie gibt es zwei (plus eine) andere sehr schöne Referenzen. Diese sind alle von Physikern für Physiker geschrieben, also keine modularen Funktoren, Kobordismen und so weiter.
1) Marcos Marino – Chern-Simons-Theorie und topologische Strings (arXiv:hep-th/0406005v4) Abschnitt II enthält eine sehr gute Übersicht über die Chern-Simons-Theorie und ihre Beziehung zu Knoteninvarianten (und rationalen CFTs).
2) Michio Kaku – String, konforme Felder und M-Theorie Lassen Sie sich nicht zu sehr vom Titel abschrecken. Kapitel 8 enthält einen sehr lesenswerten Überblick über Chern-Simons Theorien und Knoteninvarianten. Es stellt alles ausgehend von einem einfachen und intuitiven Ausgangspunkt vor. Zum Beispiel zeigt, wie die abelsche Die Chern-Simons-Theorie führt zu den Gauß-Verknüpfungszahlen durch direkte Integration und warum man aufgrund von Problemen mit der Selbstverknüpfung mit Framing regularisieren muss. Kapitel 12 befasst sich allgemeiner mit topologischen Feldtheorien, es behandelt kohomologische Feldtheorien, Floer-Theorie, Beziehungen zur Morse-Theorie und so weiter. Möglicherweise finden Sie dieses Kapitel etwas herausfordernder als Kapitel 8.
3) Birmingham et al – Topologische Feldtheorie Dies ist ein langer und etwas alter Überblick über viele verschiedene topologische Feldtheorien. Es enthält auch ein wenig über die Chern-Simons-Theorie, aber nicht so viel wie die anderen beiden oben, soweit ich mich erinnere.
Ich kenne viele andere gute Referenzen, aber sie sind fortgeschrittener. Dies ist ein fortgeschrittenes Thema, daher setzen die meisten Aufsätze und Bücher natürlich einen bestimmten Hintergrund voraus.
Ich persönlich finde ein Buch von Nash Differentialtopologie und QFT sehr lesenswert. Es erklärt QFT meiner Meinung nach sehr flüssig.
Es gibt eine dritte TQFT, die Witten in den 80er Jahren untersucht hat und mit der es sich lohnt, Zeit zu verbringen: die Gromov-Witten-Theorie, die sich mit topologischen Variationen des nichtlinearen Sigma-Modells und der Stringtheorie befasst. Ausgangspunkt ist Witten, Topological Sigma Models . Die neueste schöne Ausstellung, die ich kenne, ist Hori's et al's Mirror Symmetry .
Ebenfalls einen Besuch wert ist Witten, Chern-Simons Gauge Theory as a String Theory , das die Raumzeitphysik eines Spezialfalls dieser perturbativen Stringtheorien durch eine Chern-Simons-Theorie beschreibt. Marinos Buch ist auch hier gut.
Aus Sicht der Physiker würde ich mit den folgenden Notizen beginnen, die auch Kapitel 9 in John Preskills Quantum Computing-Vorlesungsunterlagen sind : http://www.theory.caltech.edu/~preskill/ph219/topological.pdf als Referenzen darin.
Als besonders einflussreiche Referenz möchte ich auch Kitaevs Artikel https://arxiv.org/abs/cond-mat/0506438 erwähnen. Anhang E dieses Papiers ist eine gute Zusammenfassung der mathematischen Aspekte von TQFT, wie sie von Physikern in der Praxis verwendet werden. Zitat von Kitaev,
Jeder kann im Rahmen der topologischen Quantenfeldtheorie (TQFT) beschrieben werden, die aus Wittens Arbeit über Quanten-Chern-Simons-Felder [5] und der Arbeit von Moore und Seiberg über konforme Feldtheorie [4] stammt. Wichtige mathematische Studien auf diesem Gebiet wurden von Reshetikhin und Turaev [66] und Walker [67] durchgeführt. Für unsere Zwecke reicht es aus, eine Konstruktion namens Unitary Modular Category (UMC) zu verwenden, die den algebraischen Kern von TQFT darstellt [68]. Diese Konstruktion wird in Anhang E skizziert.
Im Wesentlichen konzentriert sich die Praxis in der Physik auf die „einheitliche modulare Kategorie“, auch als „Anyon-Modell“ bekannt, als allgemeine Sprache, um über topologische Phasen zu sprechen, die durch TQFTs beschrieben werden können.
Ich fand diesen Aufsatz im Archiv von Numdam (einer Zusammenstellung mathematischer Zeitschriften), das alles umfasst, worüber Sie gesprochen haben, und ich fand ihn klar, auch mit einigen Verweisen auf Witten. Dieses Papier geht viel weiter ins Detail, aber ich habe nicht alles gelesen. Und das könnte helfen, wenn Sie sich nicht darum kümmern, aus Forenbeiträgen zu lernen?
Sudi Paul