Zugelassen für Chern-Simons auf Stufe kkk

Diese Darstellungen werden integrierbare Darstellungen genannt. Im Fall einer allgemeinen kompakten halbeinfachen Lie-Gruppe stammt eine Darstellung mit dem höchsten Gewicht von einem höchsten Gewicht ab:

$$\lambda = \sum_i n_i w_i, \quad i = 1, ...,r$$ Wo$r$ist der Rang,$w_i$sind die Grundgewichte und$n_i \in \mathbb{Z}^+$. Die obige Darstellung ist für eine Ebene integrierbar$k$wenn für alle$i$ $$0\le n_i \le k$$ Die Gründe für diese Bedingung lassen sich qualitativ wie folgt verstehen: Die Gaußsche Gesetzmäßigkeit der Chern-Simons-Theorie auf die Scheibe bei Vorliegen einer infinitesimalen Wilson-Schleife$x_0$entsprechend der Darstellung$\lambda$wird gegeben von: $$\frac{k}{2\pi} F^a_{12} = i T^a_{(\lambda)} \delta^2(x-x_0)$$ Witten- Gleichung 3.4. (Witten erklärt dieses Thema in den nächsten Absätzen in Worten)

Wo$T^a_{(\lambda)}$ist in der Darstellung ein Generator der Lie-Algebra$\lambda$, die immer diagonalisiert werden kann als:

$$T^a_{(\lambda)} = g H_{(\lambda)} g^{-1}$$ Wo$H_{(\lambda)}$ist in der Cartan-Subalgebra.

Die Holonomie der Verbindung, die das Gaußsche Gesetz löst, hat die Form:

$$U = e^ {\frac{2 \pi i}{k} g H_{(\lambda)} g^{-1} \phi}$$ Wo$\phi$ist der Rotationswinkel um den Einfügepunkt.

Da die (diagonalen) Matrixelemente von$H_{(\lambda)}$kleiner oder gleich den Komponenten mit dem höchsten Gewicht sind, also aufgrund des Vorfaktors$\frac{2 \pi}{k}$, eine Änderung um ganzzahlige Vielfache von$k$ändert nichts an der Holonomie. Diese Darstellungen heißen integrierbar, weil die Ebene$k$Darauf basierende Kac-Moody-Algebren erzeugen Darstellungen der entsprechenden Kac-Moody-Gruppen, siehe Goddard und Olive .