Warnung: Diese Frage wird ziemlich schlecht gestellt sein. Ich habe viel Zeit damit verbracht, ohne Erfolg zu versuchen, es besser zu stellen, also bitte haben Sie Geduld mit mir.
Ein einzelnes Spin kann durch dargestellt werden dimensional nichtlinear Modell mit Zielraum . Dies Modell lässt einen Wess-Zumino-Witten-Term zu. Nun, WZW-Begriffe sind sehr komische Dinge. Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist rein von der Seite des Pfadintegrals. Die Existenz des topologischen Terms kommt von der topologischen Struktur des Pfadintegrals, und die Quantisierung des WZW-Terms kommt von der Einzelwertigkeit des Integrals.
Eine andere Möglichkeit, den WZW-Term zu erhalten, besteht darin, vom Hilbert-Raum von an auszugehen Spin (die "algebraische" Seite) und konstruieren dann das Pfadintegral. Dass der WZW-Begriff quantisiert und topologisch ist, ist aus dieser Perspektive völlig natürlich, da der WZW-Begriff nichts mit Dynamik zu tun hat. Es merkt sich einfach welche Darstellung, die wir haben - also renormalisiert es natürlich nicht oder kümmert sich nicht um Details.
Außerdem können wir anstelle eines einzelnen Spins a betrachten dimensionale Gitterspins. Unter bestimmten Bedingungen können wir dies wieder schreiben als Modell. Je nachdem kann es einen WZW-Begriff geben . So gibt es je nach Dimension eine Einteilung möglicher WZW-Begriffe.
Hier ist das Problem : Die Klassifizierung von WZW-Termen auf der Pfadintegralseite ist sehr klar. Es ist nur eine geeignete dimensionale Homotopiegruppe. Was wird auf der algebraischen Seite klassifiziert? Wir zählen irgendwie unterschiedliche Darstellungen der Operatoralgebra - aber was genau?
Hoffentlich macht das keinen Sinn. Was folgt, ist ein Dump meines Gehirninhalts.
1) Die Frage hat nichts mit Symmetrie zu tun. Ich werde immer noch einen topologischen Term haben, wenn ich einen Hamilton-Operator ungleich Null hinzufüge, der jede Symmetrie bricht. Es ist wahr, dass ich bei großen Entfernungen in einem anderen topologischen Sektor landen kann, aber das scheint irrelevant zu sein.
2) Ein Quantensystem besteht aus zwei Teilen: einer Operator-Algebra (mit einem Hamilton-Operator) und einem Hilbert-Raum, der eine Wahldarstellung dieser Algebra ist – die WZW-Begriffe verfolgen diese Wahl.
3) Es ist offensichtlich empfindlich für mehr Informationen als die Dimension des Hilbert-Raums, da es Darstellungen von gibt und mit der gleichen Dimension, aber der Homotopiesequenz von unterscheidet sich von der von .
4) Soweit ich das beurteilen kann, gibt es an den WZW-Bedingungen nichts Besonderes. Jeder topologische Begriff sollte eine ähnliche Frage haben, zumindest über die Bulk-Boundary-Korrespondenz. Da können wir einstellen Die Frage bezieht sich irgendwie auf das algebraische Analogon der topologischen QFT. Jemand, der TQFT versteht, sollte es also erklären können.
Die Antwort, die ich am ehesten erreichen konnte, ist etwa die folgende. Um eine kohärente Zustandspfad-Integraldarstellung zu konstruieren, kann mein Hamilton-Operator nur eine bestimmte Algebra von Operatoren beinhalten. (Glaube ich.) Wenn ich zum Beispiel ein Gitter mit einem vierdimensionalen Hilbert-Raum auf jeder Seite habe, kann ich so tun, als wäre das ein Spin-Gitter . Aber wenn ich nur zufällige Matrixelemente habe, die benachbarte Standorte koppeln, scheint das Integral des kohärenten Zustandspfads nicht gut herauszukommen. Nur wenn die einzigen Kopplungen, die im Hamilton-Operator auftreten, die Spin-Operatoren sind, kann ich die übliche Pfadintegral-Manipulation durchführen.
Wie ich im Grunde schon gesagt habe, lautet die entscheidende Frage: "Was ist die Algebra der Operatoren, die auf einer Site definiert sind, die im Hamiltonian erscheinen kann"? Wie ich bereits sagte, gibt es in dieser Definition keinen Symmetriebegriff, da der Hamiltonoperator nicht im Zentrum dieser Operatoralgebra liegen muss. Und wiederum ist das Spektrum topologischer Invarianten empfindlich gegenüber den Darstellungen dieser Algebra.
Um nun eine Pfadintegraldarstellung zu konstruieren, möchte ich kohärente Zustände haben. Für den Fall, dass meine Algebra nur eine endliche Lügenalgebra ist, kann dies wahrscheinlich unter Verwendung einer Wurzelzerlegung und im Grunde nach der erfolgen Konstruktion. So bekomme ich etwas geometrischen Raum, den ich wahrscheinlich irgendwie aus dem Dynkin-Diagramm ablesen kann. Dann kann ich vielleicht durch Rückwärtsgehen von der Homotopie-Berechnung herausfinden, was auf der algebraischen Seite passiert. Also denke ich, es ist vielleicht nur die ADE-Klassifizierung von symmetrischen Räumen?
Für den Fall, dass meine Operatoralgebra keine endliche Lie-Algebra ist, weiß ich es nicht, hauptsächlich weil ich nichts über Algebra weiß.
Ein modernes geometrisch-algebraisches Werkzeug, das derzeit im Zusammenhang mit der Quantisierung von Feldtheorien mit topologischen Termen aktiv erforscht wird, ist die Theorie der Gerben . Die Hauptreferenz für diese Anwendung (Quantisierung) ist das Buch von Brylinski : "Loop Spaces, Characteristic Classes, and Geometric Quantization".
Gerben werden ausgiebig in der Stringtheorie verwendet, siehe die folgende Einführung von Graeme Segal. (d.h. die fadenförmigen Strukturen je nach -Felder in der Stringtheorie sind eigentlich Eigenschaften von Gerben).
Eine der frühen physikalischen Referenzen zu diesem Thema ist der wegweisende Artikel von Orlando Alvarez. (Das Wort Gerbe wird in dem Artikel nicht erwähnt, weil es der Verwendung dieser Terminologie in der Physik vorausging.)
In dieser Arbeit wird die Quantisierungsbedingung des Koeffizienten eines WZW-Terms als Nebenprodukt der Konstruktion des Isomorphismus zwischen der Cech- und der de-Rham-Kohomologiegruppe erreicht.
Die Arbeit beschreibt zwei Beispiele, das erste ist die Übersetzung des Wu-Yang-Arguments eines Teilchens im Feld eines magnetischen Monopols (in 0+1 d) in die Cech-Kohomologie. Dieses Beispiel ist eigentlich eine Einführung in Leitungsbündel. Die WZW-Koeffizientenquantisierung in 0+1-Dimensionen ist nur die Dirac-Quantisierungsbedingung, die Linienbündel über der Mannigfaltigkeit (Äquivalenzklassen) der ersten Chern-Klasse der Mannigfaltigkeit zuordnet, die das global definierte Magnetfeld ist. Der Aufbau des Linienbündels ist der erste Schritt zur Quantisierung (manchmal auch Vorquantisierung genannt). Grundsätzlich kann der Quantisierungs-Hilbert-Raum so gewählt werden, dass er die Raum-Null-Moden des (geeichten) Laplace-Operators auf den Abschnitten des Bündels ist. Die Werte der magnetischen Ladungen bestimmen die Dimension des Quantisierungs-Hilbert-Raums über den Indexsatz von Atiyah-Singer.
Das zweite (und wichtigste) Beispiel ist ein zweidimensionales Sigma-Modell mit einem WZW-Term , was den wichtigen Beitrag der Arbeit darstellt. Im Zuge der Quantisierung des WZW-Koeffizienten werden die Grundbestandteile der Gerbe konstruiert: Die -Feld: die globale WZW-Dreierform, die -Feld (zwei Formular) im Artikel mit bezeichnet und die -Feld (ein Formular) im Artikel mit gekennzeichnet .
Diese Arbeit von Orlando Alvarez ist sehr wichtig für das Verständnis der folgenden Gerbe-Konstruktionen.
Die Quantisierung von Gerbes folgt den gleichen Linien wie die Quantisierung von Linienbündeln. Die Quantisierungsbedingung bzw. die Zuordnung von Linienbündeln zur ersten Chern-Klasse wird durch die Zuordnung der Gerbe zu einer Dixmier-Douady-Klasse ersetzt, deren Repräsentant gerade die WZW-Dreierform mit dem quantisierten Koeffizienten ist. Die Linienbündelholonomie wird durch die Gerbe-Oberflächenholonomie ersetzt. Die Quantisierungsräume sind unendlich dimensional und mit Darstellungen von Kac-Moody-Algebren verbunden, siehe die folgende Arbeit von Juoko Mickelsson.
Gerben ermöglichen die Erweiterung der Theorie der geometrischen Quantisierung auf Schleifenräume von Mannigfaltigkeiten bei der Arbeit mit endlichdimensionalen Objekten. Der Übergang zwischen den beiden Bildern erfolgt in unserem Fall über die Transgressionskarte . Somit ist die WZW-Dreierform eigentlich die Chern-Klasse eines Leitungsbündels über einem Schleifenraum. Siehe zum Beispiel die folgende Arbeit von Sämann und Szabo.
Die Verwendung von Gerbes ist nicht auf zweidimensionale Feldtheorien beschränkt, obwohl die Quantisierung von höherdimensionalen Feldtheorien (mit topologischen Begriffen, zum Beispiel wenn Anomalien vorhanden sind) eine viel schwierigere Herausforderung darstellt und die Arbeit noch nicht abgeschlossen ist . Schritte in diese Richtung wurden von Juoko Mickelsson und seinen Mitarbeitern unternommen, siehe Referenzen in der obigen Mickelsson-Arbeit und anderen Arbeiten von ihm im Archiv.
Wir haben eine algebraische Klassifikation von WZW-Termen, die für alle Dimensionen und für alle Symmetriegruppen (einschließlich diskreter Gruppen) funktioniert. Tatsächlich haben wir die sogenannten SPT -Zustände für alle Symmetrien vor Ort in beliebigen Dimensionen klassifiziert. Die Grenzanregungen eines SPT-Zustands werden durch ein effektives nichtlineares Sigma-Modell der Symmetriegruppe mit einem WZW-Term beschrieben. Die Klassifikation der Massen-SPT-Zustände wiederum klassifizieren die WZW-Terme für das nichtlineare Sigma-Modell der effektiven Grenze.
Die Klassifizierung kann wie folgt angegeben werden ( arXiv:1106.4772 ):
Betrachten Sie ein nichtlineares Sigma-Modell, dessen Zielraum die Symmetriegruppe ist in Raum-Zeit-Dimensionen, seine WZW-Begriffe sind nach Gruppen-Kohomologie- Klassen klassifiziert . Hier kann kontinuierlich oder diskret sein.
Add: Was wir wirklich klassifiziert haben, ist der WZW-Term in einem nichtlinearen Sigma-Modell, dessen Zielraum die Symmetriegruppe ist in dimensionales Raum-Zeit- Gitter . Das heißt, wir haben eine diskrete Raumzeit. Sogar für diskrete Raumzeit und diskrete Gruppen kann eine Verallgemeinerung des WZW-Begriffs definiert werden, und ihre Klassifizierung ist rein algebraisch. Aus diesem Grund beinhaltet unsere Klassifikation eher die Co-Homologie-Theorie als die Homotopie-Theorie.
Wenn wir die Symmetrie brechen, verschwinden die Niedrigenergieeffekte des WZW-Terms (dh die Niedrigenergieeigenschaften der Theorie sind mit oder ohne WZW-Term gleich. Deshalb brauchen wir Symmetrie).
Trimok
Dehnung
Urs Schreiber