über die Atiyah-Segal-Axiome zur topologischen Quantenfeldtheorie

Die Atiyah-Segal-Axiome und allgemein die Axiome der FQFT formalisieren das Schrödinger-Bild der Quantenphysik:

• zu einem Codimension-1-Slice$M_{d-1}$des Raumes ordnet man einen Vektorraum zu$Z(M_{d-1})$-- der (Hilbert-)Raum der Quantenzustände vorbei$M_{d-1}$;

• zu einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit$M$mit Grenzen$\partial M$man ordnet den Quantenpropagator zu, der die lineare Karte ist$Z(M) : Z(\partial_{in} M) \to Z(\partial_{out} M)$die eingehende Zustände durch Ausbreitung entlang der Raumzeit/des Weltvolumens in ausgehende Zustände bringt$M$. Dies$Z(M)$wird alternativ als die Streuamplitude oder die S-Matrix für die Ausbreitung bezeichnet$\partial_{in}M$zu$\partial_{out}M$entlang eines Formprozesses$M$.

Für echte topologische Feldtheorien sind nun alle Räume von Quantenzuständen endlichdimensional und daher können wir die linearen dualen Räume äquivalent betrachten (unter Verwendung dieser endlichdimensionalen Vektorräume bilden eine kompakte geschlossene Kategorie ). Dabei die Propagator Map

wird äquivalent zu einer linearen Abbildung der Form

Beachten Sie, dass eine solche lineare Abbildung aus dem kanonischen 1-dimensionalen komplexen Vektorraum stammt$\mathbb{C}$zu einem anderen Vektorraum ist äquivalent nur eine Auswahl von Elementen in diesem Vektorraum. Es ist in diesem Sinne das$Z(M)$ist ein Vektor in$Z(\partial_{out}M) \otimes Z(\partial_{in}M)^\ast = Z(\partial M)$.

In dieser Form wird der Propagator in der Physik üblicherweise als Korrelator bezeichnet .

Segals Axiome betrafen ursprünglich explizit die Propagatoren/S-Matrizen, während Atiyah dies in Bezug auf die Korrelatoren so formulierte. Beide Perspektiven gehen unter Dualität wie oben ineinander über.

Beachten Sie, dass diese Art der Diskussion nicht auf die topologische Feldtheorie beschränkt ist. Zum Beispiel wird die bereits einfache Quantenmechanik auf diese Weise sinnvoll formuliert, das ist der Punkt der endlichen Quantenmechanik in Bezug auf Dolch-Kompakt-Kategorien . Dort wird dies in der Quanteninformationstheorie und im Quantencomputing erfolgreich eingesetzt.

EDIT #3: Meine andere Antwort gibt einen detaillierteren und strukturierteren Bericht (hoffe ich).

(Ich würde dies als Kommentar hinterlassen, aber ich habe nicht genug Ruf, also …)

Sie sollten sich Atiyahs Artikel selbst ansehen. Er unternimmt Versuche, zumindest einige dieser Dinge zu erklären. Leider muss ich im Moment loslegen (aber ich komme zurück und bearbeite dies mit einer vollständigeren Antwort, es sei denn, jemand anderes möchte in der Zwischenzeit), aber ich kann ein paar Dinge sagen:

(1) Wenn Sie sich Atiyahs Artikel ansehen, werden Sie feststellen, dass er schreibt$Z(M)\in Z(\partial M)$an mehreren verschiedenen Stellen, daher ist es sicher anzunehmen, dass es sich nicht um einen Tippfehler handelt. ;) Ich werde mein Bestes tun, um die Details zu erklären, wenn ich zurückkomme.

(2) Ein netter erläuternder Artikel, der etwas die physikalische Interpretation des Homotopie-Axioms und des additiven Axioms erklärt, findet sich hier (insbesondere$\S$2), des Mathematikers John Baez. Auch hier werde ich bei Gelegenheit später mehr sagen.

(3)$Z(\Sigma)$wird als Zustandsraum eines Systems interpretiert. Die Gesamtidee ist, dass jedes geometrische Objekt, dh eine Mannigfaltigkeit$\Sigma$, assoziiert man damit ein algebraisches Objekt, also einen Vektorraum$Z(\Sigma)$(oder schließlich würde man einen Hilbert-Raum wollen, da es hier um Quantenphysik geht). Und für jeden "Prozess" nimmt man eine Mannigfaltigkeit$\Sigma_1$zu einem anderen Verteiler$\Sigma_2$(als Mannigfaltigkeit interpretiert$M$mit$\partial M=\Sigma_1\cup\Sigma_2$), erhält man einen "Prozess", der den Zustandsraum einnimmt$Z(\Sigma_1)$von$\Sigma_1$zum Staatsraum$Z(\Sigma_2)$von$\Sigma_2$, dh eine (beschränkte) lineare Abbildung zwischen den Vektorräumen.

Eine weitere großartige Ressource ist dieses Buch und dieser andere Artikel von Atiyah. Hoffe, das hilft, zumindest bis ich eine bessere Antwort geben kann.

EDIT: Hier ist was der Ausdruck$Z(M)\in Z(\partial M)$bedeutet: Lass$M$eine Mannigfaltigkeit sein, damit$\partial M=\Sigma_1\cup\Sigma_2$, wie oben. Sagen wir$M$ist$(d+1)$-dimensional. Dann, wie ich oben angedeutet habe, die Idee des$Z$Sie fragen, ist, dass es ein Funktor von einer geometrischen Kategorie zu einer algebraischen ist. Die geometrische Kategorie hat als Objekte$d$-dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeiten (das sind die$\Sigma_i$'s), und seine Morphismen sind durch Kobordismen zwischen geschlossenen gegeben$d$-Mannigfaltigkeiten, dh die Morphismen sind$(d+1)$-dimensionale Mannigfaltigkeiten, deren Grenze aus einer disjunkten Vereinigung von abgeschlossenen besteht$d$-dimensionale Mannigfaltigkeiten ($M$ist für uns hier der Kobordismus). Die algebraische Kategorie hat in diesem Fall endlichdimensionale Vektorräume als Objekte, und die Morphismen sind (begrenzte) lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen.

Ein Funktor zwischen zwei Kategorien ist also eine Karte, die Objekte an Objekte und Morphismen an Morphismen sendet. In diesem Fall der Funktor$Z$sendet eine geschlossene$d$-dimensionale Mannigfaltigkeit$\Sigma$zu einem Vektorraum$Z(\Sigma)$und es sendet einen Kobordismus$M$, wie oben, zwischen zwei der Objekte$\Sigma_1$und$\Sigma_2$(diejenigen, die seine Grenze bilden) zu einer linearen Karte$Z(M):Z(\Sigma_1)\rightarrow Z(\Sigma_2)$. Das ist der Kontext, versuchen wir nun, die Aussage zu verstehen$Z(M)\in Z(\partial M)$.

Der Schlüssel zum Verständnis dieses Punktes ist der Funktor$Z$nennt Atiyah multiplikativ . Was das bedeutet, ist das$Z$sendet disjunkte Vereinigungen an Tensorprodukte (das ist wie in der Quantenmechanik, wenn man es mit zwei Systemen zu tun hat: Die Zustände des Produktsystems sind nicht einfach Produkte von Zuständen in jedem System, sondern sie sind durch Tensorprodukte gegeben, und die Clebsch- Gordon-Koeffizienten kommen hinzu usw.). Mit anderen Worten

Schauen wir uns also an, was das bedeutet$M$. Seit$\partial M=\Sigma_1\cup\Sigma_2$, wir haben das

Aber ein Standardergebnis in der Algebra ergibt:

Mit anderen Worten,$Z(\partial M)$kann man sich als Sammlung aller linearen Karten vorstellen$Z(\Sigma_1)$zu$Z(\Sigma_2)$. Wie oben erwähnt, seit$M$ist ein Kobordismus, ein Morphismus in der geometrischen Kategorie,$Z(M)$ist ein Morphismus in der algebraischen Kategorie, dh$Z(M)$ist eine lineare Abbildung$Z(M):Z(\Sigma_1)\rightarrow Z(\Sigma)_2$. Also, was haben wir gefunden,$Z(M)$ ist ein Element der Sammlung aller linearen Abbildungen zwischen diesen beiden Vektorräumen, dh$Z(M)\in Z(\partial M)$.

BEARBEITUNG Nr. 2: Ich wollte nur hinzufügen, dass ich (absichtlich) vage in Bezug auf die obigen Orientierungen bin. Technisch gesehen (wenn ich mich richtig an Atiyahs Notation erinnere) sollte man schreiben$M=\Sigma_1^{\ast}\cup\Sigma_2$, bei dem die$\ast$bedeutet, dass es die entgegengesetzte Ausrichtung hat. Dazu mehr, wenn ich etwas Besseres schreibe.

Ich habe mich entschieden, dies als separate Antwort aufzunehmen, anstatt mich mit dem oben Gesagten herumzuschlagen. Sorry im Voraus für die Länge. Ich empfehle dennoch von ganzem Herzen, dass Sie sich Folgendes ansehen:

(1) Quantenprobleme , von Baez;

(2) Frobenius Algebras and 2D Topological Quantum Field Theories , von Koch (ein Teil davon ist hier , und es gibt eine "Kurzversion" hier );

(3) Eine Einführung in topologische Quantenfeldtheorien , von Atiyah.

Einige zusätzliche (meistens Standard-)Referenzen umfassen:

(4) Höherdimensionale Algebra und topologische Quantenfeldtheorie , von Baez-Dolan (die ausführlichere Version des oben erwähnten erläuternden Artikels);

(5) Kategorische Aspekte topologischer Quantenfeldtheorien , von Bartlett;

(6) Topologische Feldtheorie, Höhere Kategorien und ihre Anwendungen , von Kapustin;

(7) Vorlesungen über Tensorkategorien und modularen Funktor von Bakalov und Kirillov (insbesondere Kapitel 3);

(8) Quanteninvarianten von Knoten und 3-Mannigfaltigkeiten , von Turaev;

(9) Dirichlet Branes and Mirror Symmetry , von Aspinwall et al (insbesondere Kapitel 2 und 3).

Davon abgesehen werde ich jedoch versuchen, es so gut wie möglich zu erklären.

(i) Sie haben gefragt, ob$Z(M)\in Z(\partial M)$stimmt und warum. Ich denke, die Verwirrung hier läuft darauf hinaus, an zu denken$Z$als Funktion zwischen zwei Mannigfaltigkeiten , in diesem Fall$Z(\partial M)\subset Z(M)$würde mehr Sinn machen. Bei dieser kategorischen Herangehensweise an TQFT$Z$ist keine Funktion, sondern ein Funktor . Ein Funktor kann als das kategoriale Analogon einer Funktion verstanden werden, aber es ist nicht dasselbe – tatsächlich ist es diese Art von TQFT-Funktor$Z$ist eines der Standardbeispiele für einen Funktor, der keine Funktion ist, also verstehen Sie mehr darüber$Z$wird Ihnen helfen, etwas mehr über die Kategorientheorie zu verstehen. Vielleicht trägt ein wenig Hintergrund zur Verdeutlichung des Bildes bei.

Eine Kategorie ist also etwas anders als eine Menge: In der Mengenlehre spricht man von Elementen $x$Zugehörigkeit zu einem Satz$X$, aber a priori gibt es keine Beziehung zwischen zwei Elementen einer gegebenen Menge. Im Gegensatz dazu spricht man in der Kategorientheorie von Objekten $A$Zugehörigkeit zu einer Kategorie$\mathcal{C}$, aber es gibt eine Beziehung zwischen zwei beliebigen gegebenen Objekten ! In der Tat, zwei Objekte gegeben$A,B\in\mathcal{C}$, gibt es eine Klasse (normalerweise eine Menge)$\text{Hom}(A,B)$von Morphismen aus$A$zu$B$. So wie man sich eine Funktion zwischen Mengen als Beziehung zwischen Elementen dieser Mengen vorstellen kann (z$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$definiert von$f(x)=x^3+1$,$f$stellt eine Beziehung zwischen Elementen der Domäne und Elementen des Bereichs her: Beispielsweise ist 28 über die Regel mit 3 verbunden$f(3)=28$), ist ein Morphismus zwischen Objekten einer Kategorie eine Beziehung zwischen ihnen. Auf diese Weise unterscheiden sich Kategorien von Mengen.

Wenn Sie also über Abbildungen zwischen Kategorien sprechen wollen , können Sie sich nicht einfach darum kümmern, wohin Sie Objekte einer Kategorie in die andere schicken, sondern Sie müssen sich auch darum kümmern, wohin die Morphismen zwischen Objekten geschickt werden . Also gewissermaßen ein Funktor $F$zwischen zwei Kategorien$\mathcal{C}$und$\mathcal{D}$ist sowohl eine Beziehung zwischen Objekten als auch eine Beziehung zwischen Beziehungen zwischen Objekten (Stichwort Unausstehliches Anfangshorn ). Jetzt haben wir die Voraussetzungen für meine vorherige Antwort geschaffen.

Auch hier ist die Idee$Z$ist ein Funktor zwischen Kategorien: sein "Bereich" ist eine geometrische Kategorie und sein "Bereich" ist eine algebraische Kategorie. In diesem Fall besteht die geometrische Kategorie dCob aus:

--Objekte = $d$-dimensionale, geschlossene Mannigfaltigkeiten$\Sigma$,

--Morphismen zwischen zwei Objekten$\Sigma_1$und$\Sigma_2$= Kobordismen aus$\Sigma_1$zu$\Sigma_2$, dh$(d+1)$-dimensionale Mannigfaltigkeiten$M$so dass$\partial M=\Sigma_1\cup\Sigma_2$.

Die algebraische Kategorie$\Lambda$-Mod (in Anlehnung an Ihre ursprüngliche Frage) besteht in diesem Fall aus:

--Objects = endlich erzeugt$\Lambda$-Module$R$,

--Morphismen zwischen zwei Objekten$R_1$und$R_2$= $\Lambda$-Modul-Homomorphismen (dh lineare Abbildungen)$f:R_1\rightarrow R_2$.

Wie in meiner vorherigen Antwort impliziert, arbeitet man oft mit der Kategorie Vec von Vektorräumen anstelle von allgemeineren Modulen.

So,$Z:$dCob$\rightarrow \Lambda$-Mod ist ein Funktor , also müssen Sie darüber nachdenken, wohin er sowohl Objekte (geschlossene Mannigfaltigkeiten) als auch Morphismen (Kobordismen) sendet. Zu jedem geschlossen$d$-dimensionale Mannigfaltigkeit$\Sigma$,$Z$ordnet ein$\Lambda$-Modul$Z(\Sigma)$. Zu jedem Kobordismus$M$zwischen$\Sigma_1$und$\Sigma_2$(nicht vergessen:$\partial M=\Sigma_1\cup\Sigma_2$),$Z$ordnet ein$\Lambda$-Modul Homomorphismus$Z(M):Z(\Sigma_1)\rightarrow Z(\Sigma_2)$. Verwendung des Multiplikativgesetzes$Z$angenommen wird, finden wir das

somit$Z(\partial M)$steht in diesem Zusammenhang für die Sammlung aller$\Lambda$-Modul Homomorphismen zwischen$Z(\Sigma_1)$und$Z(\Sigma_2)$. Seit$Z(M)$ist eine solche Karte, wie wir oben gesehen haben, haben wir das$Z(M)\in Z(\partial M)$.

(ii) Obwohl ich kein Physiker bin und daher möglicherweise nicht die beste Person für diese Antwort bin, werde ich es versuchen. So denke ich darüber (stark inspiriert von Baez' erklärendem Artikel): a$d$-dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit kann als Geometrie des Raums zu einem bestimmten Zeitabschnitt betrachtet werden. Ein Kobordismus zwischen zwei solchen Mannigfaltigkeiten$\Sigma_1$und$\Sigma_2$kann als ein Prozess betrachtet werden, bei dem die Geometrie des Raums (sanft) von der des Raums geändert wird$\Sigma_1$zu dem von$\Sigma_2$. Zum "Zeitpunkt 0" haben Sie die Geometrie von$\Sigma_1$und im Laufe der "Zeit" (entlang des Kobordismus$M$von der Grenzkomponente$\Sigma_1$zu der anderen Grenzkomponente$\Sigma_2$) wird die Geometrie ein wenig geändert, bis sie schließlich in die von geändert wird$\Sigma_2$. Die geometrische Kategorie kann in diesem Fall also als Beschreibung von Prozessen betrachtet werden, durch die die Geometrie der Raumzeit transformiert wird.

Nun beschäftigt man sich in der Quantenphysik nicht mehr so ​​sehr mit der Raumzeit, sondern mit Vektoren in einem Hilbert-Raum: Jeder Vektor ist ein Zustand, in dem sich ein quantenmechanisches System befinden kann. Also eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen , kann als ein Prozess betrachtet werden, der ein System (dh eine Ansammlung von Zuständen) zu einem anderen System (dem anderen Hilbert-Zustandsraum) führt. Natürlich unterscheiden sich beide ein wenig von der Situation, die Atiyah betrachtet: In GR ist man eher an einer bestimmten Art von Mannigfaltigkeiten interessiert (Pseudo-Riemann, dh eine Metrik, Krümmung usw. sind ebenfalls beteiligt) und in QFT eine interessiert sich für diese Hilbert-Räume. Sie arbeiten einfach mit generischen (glatten) Verteilern und$\Lambda$-Module, um die Dinge handhabbarer zu machen.

Die Interpretation also des Funktors$Z$definiert eine Art Entsprechung zwischen Zuständen und Prozessen in einer Beschreibung und Zuständen und Prozessen in der anderen Beschreibung. Mit anderen Worten,$Z$ist eine Möglichkeit zu kodifizieren, wie sich das quantenmechanische Analogon von Prozessen ändert, die die Geometrie der Raumzeit verändern.

Was ist mit dem Homotopie-Axiom und dem Additionsaxiom?

Das Homotopie-Axiom ist eigentlich der Ursprung des topologischen Teils des Namens: Es besagt, dass zwei homotopisch äquivalente Kobordismen dasselbe ergeben$\Lambda$-Modulhomomorphismen auf der algebraischen Seite. Physikalisch bedeutet dies nur, dass zwei beliebige physikalische Prozesse den Raum verändern$\Sigma_1$zu$\Sigma_2$die in Bezug auf die Topologie gleich sind (um klar zu sein: die Topologien der "Prozesse, dh die Kobordismen, sind gleich, nicht unbedingt die Topologien der$\Sigma_i$'s) wird auf der QFT-Seite die gleichen Ergebnisse liefern, dh die Theorie kümmert sich nur um topologische Unterschiede, also handelt es sich um eine topologische QFT.

Das additive Axiom ist in diesem Zusammenhang die oben erwähnte multiplikative Eigenschaft:$Z(\Sigma_1\cup\Sigma_2)=Z(\Sigma_1)\otimes Z(\Sigma_2)$. Wie ich in meiner vorherigen Antwort zu erwähnen versuchte, entspricht dies physikalisch dem Fall, dass Sie zwei separate Prozesse zwischen Systemen haben und diese als einen parallel laufenden Prozess betrachten. Auf der Quantenseite lassen sich, wie man aus der grundlegenden QM weiß, die Hilbert-Räume, die die Zustände jedes Systems angeben, nicht so einfach kombinieren: Man muss das Tensorprodukt von ihnen berücksichtigen, um die richtigen Ergebnisse zu erhalten. Das additive Axiom kann also wirklich als kodierter Quantenteil der „topologischen Quantenfeldtheorie“ betrachtet werden.

Ich hoffe, dies hilft, einen Einblick in das zu geben, was physisch vor sich geht. Ich empfehle Ihnen dringend, das zu lesen, was ich oben gesagt habe, mit den am Anfang angegebenen Referenzen, damit Sie schöne Bilder sehen können, die veranschaulichen, was ich hier zu sagen versuche.

(iii) In dem Fall, wo$\Sigma$ist ein$d$-dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit, ja$Z(\Sigma)$wird als TQFT-Partitionsfunktion interpretiert.